[Résolu] Maths/SES somme d'une suite géométrique

Bonjour,

Comme souvent pour ma prépa du Capes de SES je suis un peu bloqué par les maths et aujourd'hui je n'arrive pas à comprendre par moi-même l'égalité suivante:

6250 étant le premier terme d'une suite et 1,25 sa raison q, montrer que U1+U2+...+Un= 25000(1,25^n-1)

Alors je connais la formule pour calculer la somme d'une suite géométrique, du coup je pose:

U1+U2+...+Un= 6250X(1-1,25^n/1-1,25)

Le corrigé mentionne simplement que 6250X(1-1,25^n/1-1,25)= 25000(1,25^n-1)

Comment passe-t-on de 6250X(1-1,25^n/1-1,25) à 25000(1,25^n-1)? Je n'arrive pas à trouver...

Merci d'avance pour vos réponses

Là comme ça je dirais que c'est le résultat de la simplification de l'expression que tu as indiquée toi-même :
(1-1,25^n) / (1-1,25) = (1,25^n - 1) / (1,25 - 1)
donc, on a : 6250((1-1,25^n)/(1-1,25)) = 6250 ((1,25^n - 1) / (1,25 - 1)) (on multiplie par -1 au numérateur et au dénominateur)

6250 / (1,25 - 1) = 6250 / 0,25 = 25 000
Donc on a : 6250 ((1,25^n - 1) / (1,25 - 1)) = 25 000(1,25^n - 1)

Voilà, j'espère ne pas m'être trompé

C'est bien cela, mon cher Ernest.

Merci VinZT, ça fait du bien à ma journée !

Bon, ne la ramène pas trop quand même, tu as oublié des parenthèses vitales dans ta première égalité

mais surtout C'est pas de ma faute, je ne sais pas comment bien écrire des équations autrement qu'à la main avec un stylo (je ne maîtrise pas LaTEX) et j'ai pas l'habitude et... (ça va mieux là ?)

Pour écrire plus simplement l'explication de Laverdure : ta formule de la somme des termes est égale à 6250 x (1,25^n - 1)/(1,25-1) donc = (6250/0,25) x (1,25^n - 1).
Or 6250/0,25 = 25 000.

Merci @Laverdure et @Furby! Bien que j'aie remarqué que 25000/6250=4 j'ai parfois du mal à voir ces trucs avec les factorisations! Faut que je continue à m'entrainer!

Si je comprend bien il faut voir que:
(1-1.25^n/1-1.25)=(1.25^n-1/1.25-1)
Soit que (a-b/c-d) = (b-a/d-c)?
Je viens d'essayer ac des nombres et ça se vérifie! Je suis vraiment rouillé! Serait-ce une identité remarquable?

(a-b/c-d) = (b-a/d-c)
car (a-b) *(-1)= (-a) -(-b) donc (a-b) *(-1)= -a + b soit (a-b) *(-1) = b-a
De même (c-d) * (-1) = d - c
Si je multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le même nombre (-1) j'obtiens une fraction égale. Or j'obtiens ainsi la deuxième fraction. Donc les deux fractions sont égales.

Non, Utopique, c'est une simplification par -1

(a-b)/(c-d) =
-(-a+b)/-(-c+d)=
(-a+b)/(-c+d)=
(b-a)/(d-c)

Oups, pas assez rapide.

Il est aussi possible d'utiliser la propriété :
lorsque B et D sont non nuls, A/B = C/ D est équivalent à A* D = B * C

Calculer séparément (a-b)*(d-c) et (c-d)*(b-a)
et vérifier que les deux résultats sont égaux.