[résolu] diviser par zéro

Est-il possible de diviser par zéro et si c'est impossible pourquoi puisqu'on peut multiplier par zéro?

La division, c'est la multiplication par l'inverse. L'inverse de a, c'est, s'il existe, l'unique nombre b tel que a*b=b*a=1. Peut-on trouver un nombre tel que 0*b=b*0=1 ? Non, donc 0 n'a pas d'inverse, donc on ne peut pas diviser par 0.

PS : au passage, dans l'ensemble des entiers, on ne peut pas non plus diviser par 3.

Le resultat d’une division de a par b est le quotient de a par b.
Par exemple, 6x5=30 donc 30:6=5.
5 est le quotient de 30 par 6 car c’est le nombre qui multiplié par 6 donne 30.

Supposons que le quotient de 5 par 0 existe.
Alors c’est le nombre qui multiplié par 0 donne 5. Mais c’est impossible, car le produit de tout nombre par 0 est égal à 0. Ce produit ne peut donc pas être égal à 5.

Et 0 divisé par 0 ?
2x0=0, donc le quotient de 0 par 0 pourrait être 2.
Sauf que 3x0=0, donc ce quotient pourrait aussi être 3.
Donc ce quotient n’est pas défini.

Edit : Helips fut plus rapide

Plus trivialement, combien de pièces de 0 euro me faut-il pour avoir 5 euros ?
Eh bien, je ne peux pas avoir 5 euros avec des pièces de 0 euro.

JPhMM a écrit:Et 0 divisé par 0 ?

= la tête à Toto ?

JPhMM a écrit:Plus trivialement, combien de pièces de 0 euro me faut-il pour avoir 5 euros ?
Eh bien, je ne peux pas avoir 5 euros avec des pièces de 0 euro.

Avec des pièces de 2 euros non plus...

Il me semble que si on cherche à exprimer ce qui serait l'évidence intuitive, on comprend assez aisément qu'on ne puisse diviser par zéro, puisque cela n'a pas de sens (sauf à lui en donner un par convention, ce qui ne relève plus de l'évidence intuitive).
En revanche, ce qui me paraît étrange, c'est qu'on puisse multiplier par zéro. Il me semble que ça n'a pas de sens non plus, sauf convention. Mais peut-être existe-t-il un bon exemple pédagogique qui me montrerait où je fais erreur?

Euthyphron a écrit:Il me semble que si on cherche à exprimer ce qui serait l'évidence intuitive, on comprend assez aisément qu'on ne puisse diviser par zéro, puisque cela n'a pas de sens (sauf à lui en donner un par convention, ce qui ne relève plus de l'évidence intuitive).
En revanche, ce qui me paraît étrange, c'est qu'on puisse multiplier par zéro. Il me semble que ça n'a pas de sens non plus, sauf convention. Mais peut-être existe-t-il un bon exemple pédagogique qui me montrerait où je fais erreur?

Quand y en n'a plus dans le paquet de bonbons, y en n'a plus ! Ce n'est pas étrange, c'est désolant .

Mais si le paquet est vide, rien n'a été multiplié. Le paquet vide peut montrer que zéro est l'élément neutre de l'addition, puisque si je mange tout le contenu d'un paquet vide en dessert c'est comme si j'en étais privé. Mais je ne vois pas où est la multiplication.

Si on prend 2 paquets vides on aura toujours 0 bonbon. Donc 2 x 0 = 0.

Mon prof de maths au collège nous disait que "diviser par zéro, c'est interdit"!

Oui, et trois fois rien c'est toujours pas grand chose.

Euthyphron a écrit:Il me semble que si on cherche à exprimer ce qui serait l'évidence intuitive, on comprend assez aisément qu'on ne puisse diviser par zéro, puisque cela n'a pas de sens (sauf à lui en donner un par convention, ce qui ne relève plus de l'évidence intuitive).
En revanche, ce qui me paraît étrange, c'est qu'on puisse multiplier par zéro. Il me semble que ça n'a pas de sens non plus, sauf convention. Mais peut-être existe-t-il un bon exemple pédagogique qui me montrerait où je fais erreur?

Je suis assez d’accord avec vous, je ne suis pas sur que conceptualiser le zéro par l'absence soit si intuitif que ça.
Il y a pas mal d'exemples en maths où l'on s'accorde de conventions que l'on ne peut justifier justement que par l'environnement mathématique
x^0=1 0!=1 pour ce qui me vient à l'esprit.
On pourrait poser 1/0=alpha par exemple, ce qui a priori n'est pas plus "inintuitif" que i²=-1 mais outre les nombreuses contradictions que porterait ce alpha, son utilisation nous ferait sortir du cadre des structures algébriques classiques (il y a dans wiki un article assez fumeux je trouve sur la division par zéro..sauf à la fin où il y a référence à Jesper Carlström qui décrit une structure permettant la division par zéro au prix de nombreuses concessions dans un article tout à fait solide) au contraire du i²
Combien de pièces de 0 euros pour faire 5 euros? Et si le nombre de pièces peut être infini? après tout l'infini est-il plus choquant que le néant.

Je me pose quand même, sans doute malignement une question, quoique je sois l'innocence même : nitescence n'aurait-il pu attendre la rentrée effective de tous les enseignants pour soumettre le problème à ses collègues de maths ?

Ennui ?

Figurez vous que j'ai pensé à cette petite discussion dans mon lit (Merci le stress de la rentrée ). Je vais parler en tant que PE alors je vais sûrement utiliser des termes erronés et je m'en excuse par avance.Donc je me disais effectivement qu intuitivement admettre que 3X 0 soit également à 0 n'était pas forcément évident pour moi. C'est le cas si je reste sur la multiplication avec une réalité "géométrique " en colonne et ligne. 3 X 4 c'est 3 lignes de 4 carreaux ou 4 colonnes de 3 carreaux. Multiplier par 0 pose problème pour se le représenter. Mais en CP 3 X 2 c'est 3 paquets de 2 , c'est 2 plus 2 plus 2. Alors 3 X 0 c'est tout simplement 3 paquets vides donc également à zéro. Bref dans ce cas ( en CP tout du moins) il n'y a pas de probleme pour les élèves. Idem pour le 0 X 3.

Disons que trois paquets vides ne me choque pas...zéro paquets pleins un peu plus, même si je ne suis pas capable de dire précisément quoi il y a un petit truc qui me gène...
Maintenant, soyons clair, ce que vous dites, à mon avis tient la route et je ne pense pas que les digressions philosophiques sur le néant et l'infini aient bien leurs places hors du supérieur.

Supposons que l'on puisse définir un nombre a (forcément non réel) par la relation a fois 0 = 1.
Comme 0 fois 0 = 0, on a d'une part
a fois (0 fois 0) = a fois 0 = 1
d'autre part,
(a fois 0) fois 0 = 1 fois 0 = 0,
donc on peut déjà s'asseoir sur l'associativité.
Exercice laissé au lecteur : la distributivité à droite saute également.
Exercice à faire une fois dans sa vie : écrire proprement une expression algébrique "classique" (dans un anneau) qui ne satisfait pas ces deux propriétés, et comprendre sa douleur.

Merci maikreeeesse, je crois que j'ai compris.
Si la multiplication est fondée sur la géométrie se représenter une multiplication par zéro est contre-intuitif. En revanche si on pense la multiplication comme une série d'additions, alors zéro multiplié par tout nombre, cela donne zéro (peu importe combien de fois j'ajoute zéro, cela fait toujours zéro).
Mais attention, multiplier par zéro reste étrange, voire absurde. Je ne fais pas zéro fois une addition, je ne la fais pas, point.
Conclurai-je correctement si je conclus ainsi? C'est parce que nous savons que la multiplication est commutative que nous avons l'impression que multiplier par zéro est évident naturellement. Car spontanément nous traduisons multiplier x par zéro par multiplier zéro par x.

C'est assez facile de démontrer que a * 0 = 0 dès lors qu'on connait la distributivité, et en général ça impressionne favorablement les élèves (même en prépa…) :
0 + 0 = 0, donc en multipliant de chaque côté par a,
a * (0 + 0) = a * 0, donc en développant,
a * 0 + a * 0 = a * 0, et en soustrayant a * 0 de chaque côté,
a * 0 = 0

Quant au fait qu'on ne peut pas diviser par 0, ou que 0 n'a pas d'inverse comme ça a été proposé, j'aime bien observer que
a * 0 = 1 entraine que 0 = 1 (puisque a * 0 = 0) et donc : pour tout x, puisque x = x * 1, on a x = x * 0 = 0.
On peut envisager des "systèmes" dans lesquels on peut diviser par zéro, mais le prix à payer c'est que tout le monde est alors égal à zéro : c'est pas très intéressant (ou alors c'est que les opérations n'ont pas les propriétés agréables usuelles de distributivité, etc. comme l'a dit @jaybe et c'est pas terrible non plus).

Si on veut s'appuyer sur la géométrie, je pense que la difficulté est le statut de 0 lui-même plus que la multiplication par lui. Dès lors qu'on accepte l'idée d'un rectangle de longueur 1cm et de largeur 0cm, il n'est pas très étonnant de dire que l'aire de la surface qu'il délimite est 0 cm^2.

Un aspect cinématique peut aider aussi : j'ai beau avoir une vitesse V, pendant un temps nul je parcours une distance nulle.
Ou les aspects monétaires : si le sucre est à x€ le kg, avec 0€ j'achète 0kg de farine.

Euthyphron a écrit:Merci maikreeeesse, je crois que j'ai compris.
Si la multiplication est fondée sur la géométrie se représenter une multiplication par zéro est contre-intuitif. En revanche si on pense la multiplication comme une série d'additions, alors zéro multiplié par tout nombre, cela donne zéro (peu importe combien de fois j'ajoute zéro, cela fait toujours zéro).
Mais attention, multiplier par zéro reste étrange, voire absurde. Je ne fais pas zéro fois une addition, je ne la fais pas, point.
Conclurai-je correctement si je conclus ainsi? C'est parce que nous savons que la multiplication est commutative que nous avons l'impression que multiplier par zéro est évident naturellement. Car spontanément nous traduisons multiplier x par zéro par multiplier zéro par x.

Ouais, alors bon, dans le corps des réels, parce que ce n'est pas donné à toutes les structures algébriques (j'ai des souvenirs douloureux de mes premiers cours sur les groupes non commutatifs).

Quant à l'absurdité de multiplier par zéro, on peut voir les choses comme suit :

6*2 revient à prendre 6 "paquets" de 2 unités soit 2+2+2+2+2+2 unités, c'est à dire 12 unités.
2*6 revient à prendre 2 "paquets" de 6 unités soit 6 + 6 unités, c'est à dire également 12 unités. Commutativité en effet

Si je remplace 2 par 0 :

6*0 revient à prendre 6 "paquets" de 0 unités soit 0+0+0+0+0+0unités, c'est à dire 0 unités.
pour 0*6 on va se heurter à un problème d'écriture, ce qui ne veut pas dire qu'on ne peut pas obtenir de résultat. 0 * 6 donc, revient à prendre 0 paquets de 6 unités soit au final 0 unités. Corrigez moi si je me trompe mais le zéro sert à traduire l'absence d'unité justement.

Fenrir a écrit:

Euthyphron a écrit:Merci maikreeeesse, je crois que j'ai compris.
Si la multiplication est fondée sur la géométrie se représenter une multiplication par zéro est contre-intuitif. En revanche si on pense la multiplication comme une série d'additions, alors zéro multiplié par tout nombre, cela donne zéro (peu importe combien de fois j'ajoute zéro, cela fait toujours zéro).
Mais attention, multiplier par zéro reste étrange, voire absurde. Je ne fais pas zéro fois une addition, je ne la fais pas, point.
Conclurai-je correctement si je conclus ainsi? C'est parce que nous savons que la multiplication est commutative que nous avons l'impression que multiplier par zéro est évident naturellement. Car spontanément nous traduisons multiplier x par zéro par multiplier zéro par x.

Ouais, alors bon, dans le corps des réels, parce que ce n'est pas donné à toutes les structures algébriques (j'ai des souvenirs douloureux de mes premiers cours sur les groupes non commutatifs).

Quant à l'absurdité de multiplier par zéro, on peut voir les choses comme suit :

6*2 revient à prendre 6 "paquets" de 2 unités soit 2+2+2+2+2+2 unités, c'est à dire 12 unités.
2*6 revient à prendre 2 "paquets" de 6 unités soit 6 + 6 unités, c'est à dire également 12 unités. Commutativité en effet

Si je remplace 2 par 0 :

6*0 revient à prendre 6 "paquets" de 0 unités soit 0+0+0+0+0+0unités, c'est à dire 0 unités.
pour 0*6 on va se heurter à un problème d'écriture, ce qui ne veut pas dire qu'on ne peut pas obtenir de résultat. 0 * 6 donc,  revient à prendre 0 paquets de 6 unités soit au final 0 unités. Corrigez moi si je me trompe mais le zéro sert à traduire l'absence d'unité justement.

Si on veut raisonner de façon intuitive, c'est un peu ce qui cloche, cette action n'a guère de sens...en tous cas pour moi, je trouve qu'on lui en donne un parce que justement on "sait" que cela fait zéro.

Juste un truc : le zéro en tant que nombre et pas en tant que simple marqueur de position (pour différencier une unité d'un paquet (de 10, de 60, de la bonne base) d'unités), a mis un peu de temps à se concevoir, donc tiquer sur la multiplication par 0 me parait bien plus normal que de tiquer sur la division par zéro comme l'initiateur du topic. Mais c'est un avis personnel.
Il me semble par exemple que les Babyloniens avaient fini par utiliser un "zéro" de position (ça je suis sûre), mais ne l'utilisaient pas pour le résultat de 4-4.

C'est peut-être plus intuitif de façon soustractive. Supposons des paquets de 6 (bonbons par exemple). On retire 0 paquet (on plonge la main et on la retire mais sans avoir rien saisi, à la manière de ces automates des fêtes foraines).

De toute façon aucune intuition n'a vocation à être figée ou définitive et aucune image ne sera l'objet mathématique lui-même.

Intuitivement, prendre 0 paquet ne me semble pas poser de problème.

Comprendre les mathématiques m'apparaît un peu comme faire pousser une graine posée à la surface. La plante pousse, mais les racines poussent aussi et l'enracinement progresse avec le développement de la plante. On s'appuie sur des intuitions premières, ces dernières n'ont pas vocation à remplacer les constructions fondamentales qu'elles éludent/remplacent dans un premier temps. Il faut aussi savoir les dépasser lorsque nécessaire.

Il y a une belle construction de N dans Aleph1 de Warusfel (TC). Il est intéressant bien entendu de comprendre ce dont on a raisonnablement besoin pour la mesure des grandeurs, avant la construction des nombres.

Pour les PE, il y a un livre de Daniel Perrin qui s'intitule Mathématiques d'école qui est très bien dans mes souvenirs, chez Cassini.

Sur ces questions, on peut chercher chez Gonseth aussi me semble-t-il.

Moonchild a écrit:

JPhMM a écrit:Plus trivialement, combien de pièces de 0 euro me faut-il pour avoir 5 euros ?
Eh bien, je ne peux pas avoir 5 euros avec des pièces de 0 euro.

Avec des pièces de 2 euros non plus...

En fait si.
Preuve : Tu veux acheter un truc à 5 euros. Or tu as 4 pièces de 2 euros. As-tu 5 euros ? La réponse est oui.