[résolu] diviser par zéro

Moonchild a écrit:

JPhMM a écrit:Plus trivialement, combien de pièces de 0 euro me faut-il pour avoir 5 euros ?
Eh bien, je ne peux pas avoir 5 euros avec des pièces de 0 euro.

Avec des pièces de 2 euros non plus...

En fait si.
Preuve : Tu veux acheter un truc à 5 euros. Or tu as 4 pièces de 2 euros. As-tu 5 euros ? La réponse est oui.

Euthyphron a écrit:Mais si le paquet est vide, rien n'a été multiplié. Le paquet vide peut montrer que zéro est l'élément neutre de l'addition, puisque si je mange tout le contenu d'un paquet vide en dessert c'est comme si j'en étais privé. Mais je ne vois pas où est la multiplication.

Pour illustrer le fait que 0 est l'élément neutre de l'addition, on dirait plutôt qu'ajouter zéro bonbons ne change pas le nombre de bonbons.

Il se trouve que 0 est aussi, pour continuer avec le vocabulaire de l'algèbre, l'élément absorbant de la multiplication.

e1654d a écrit:C'est assez facile de démontrer que a * 0 = 0 dès lors qu'on connait la distributivité, et en général ça impressionne favorablement les élèves (même en prépa…) :
0 + 0 = 0, donc en multipliant de chaque côté par a,
a * (0 + 0) = a * 0, donc en développant,
a * 0 + a * 0 = a * 0, et en soustrayant a * 0 de chaque côté,
a * 0 = 0

Un aspect cinématique peut aider aussi : j'ai beau avoir une vitesse V, pendant un temps nul je parcours une distance nulle.
Ou les aspects monétaires : si le sucre est à x€ le kg, avec 0€ j'achète 0kg de farine.

J'aime bien, je suis impressionnée favorablement moi aussi
Merci  Anaxagore pour la référence du livre.

e1654d a écrit:
Ou les aspects monétaires : si lesucre  est à x€ le kg, avec 0€ j'achète 0kg defarine .

Tandis qu'avec y euros, je ne sais toujours pas quelle quantité de farine je peux acheter, vu que je ne connais que le prix du sucre...

Ceci dit, je vois bien que j'aurai beau multiplier les zéros (par exemple si zéro euro est mon salaire journalier, en travaillant toute la semaine), ça ne me permettra pas d'acheter de la farine, quel que soit son prix, on est d'accord. 0 multiplié par 7 cela fait bien zéro.
Mais si j'ai sept euros, par exemple, que veut dire qu'en les multipliant par zéro je me retrouve à sec?
De la difficulté d'illustrer les mathématiques par la vie quotidienne!

Euthyphron a écrit:Ceci dit, je vois bien que j'aurai beau multiplier les zéros (par exemple si zéro euro est mon salaire journalier, en travaillant toute la semaine), ça ne me permettra pas d'acheter de la farine, quel que soit son prix, on est d'accord. 0 multiplié par 7 cela fait bien zéro.
Mais si j'ai sept euros, par exemple, que veut dire qu'en les multipliant par zéro je me retrouve à sec?
De la difficulté d'illustrer les mathématiques par la vie quotidienne!

En fait, le zéro fois sept est un peu moins intuitif que sept fois zéro.

Si on définit, pour les nombres entiers, la multiplication comme une addition itérée, 7*0=0+0+0+0+0+0+0=0. Ou sept paquets vides font toujours un paquet vide.

Mais comme il est pratique que la multiplication soit commutative, on comprend qu'il est nécessaire, à défaut d'être concrètement intuitif, que 0*7=7*0=0.

Euthyphron a écrit:Mais si j'ai sept euros, par exemple, que veut dire qu'en les multipliant par zéro je me retrouve à sec?

Trois chèques de sept euros permettent d'encaisser vingt et un euros.
Zéro chèque de sept euros permet d'encaisser zéro euro.

e1654d a écrit:.

Tout à fait d'accord. La raison de 0 x a = 0 pour tout a est la distributivité.
Plus simplement : 5 x 0=5 x (2 - 2) =5 x 2 - 5 x 2=0.

Si on tient à voir 0 * 7 comme un addition itérée dégénérée (et c'est effectivement un bon point de vue), on peut peut-être bénéficier d'un éclairage algorithmique. C'est en effet un exercice qui vient rapidement : écrivez une fonction informatique qui étant donné une liste d'entiers L, renvoie leur somme. Dans le langage de programmation utilisé, on écrit en substance une boucle
Pour chaque x dans L :
  s prend-la-valeur-de s + x
et puis on renvoie la valeur de s dans laquelle on a accumulé la somme.
Mais pour pouvoir démarrer le calcul, il faut donner une valeur à la variable s, sinon le premier tour de boucle ne peut pas se faire. Et la seule valeur qu'on peut donner initialement pour que le résultat final soit correct, c'est zéro. Ça permet d'illustrer que la somme d'un ensemble vide d'entiers est 0, l'élément neutre pour l'addition. En effet, si L est vide, le corps de la boucle n'est jamais exécuté et s conserve sa valeur initiale 0. Une opération comme 0*x apparait comme un cas particulier où on somme "un ensemble vide de nombres qui sont égaux entre eux".

3 * 0 c'est trois fois rien, donc pas grand chose... 3 paquets vides...

0 * 3 c'est aucun groupe de 3

0/3 pas de bonbons à distribuer aux trois gourmands

3/0 j'ai trois bonbons mais personne à qui les distribuer, donc je ne peux pas diviser

Merci, c'est très clair ton histoire de bonbons

Avec les sixièmes : je parle de la division par zéro de manière mathématiques en disant par exemple combien de fois 0 dans 5 et on voit que c'est impossible... Je parle aussi du partage du gâteau:

Partager un gâteau en 4 : tout le monde sait le faire ?
Partager en 2 aussi
Partager en 1 part c'est facile on n'a pas besoin de couteau
Partager en 0 part, en math c'est impossible car il faut faire disparaître le gâteau, il reste la magie ou l'énorme pétard, mais après il faut tout nettoyer !!!
Quand ils sont en 3ème, ils me reparlent encore du gros pétard... à propos de la division par zéro...

Pour le côté intuitif, je suis toujours surpris qu'on puisse faire de la théorie sur l'intuition, 6 paquets de bonbons vides, là ça va et 0 paquets de 6 bonbons ça ne va pas...

Chacun à une intuition différente, j'ai toujours eu une intuition différente des autres, je ne sais pas si c'est parce que je suis gaucher, mais j'adorais embêter mes profs de maths avec des perspectives dans un sens qui dérange...

Donc pour revenir aux paquets de bonbons, dans mon intuition, c'est plus facile d'imaginer un inventaire de paquets de bonbons (plutôt des paquets de 36 bonbons parce que 6 c'est vraiment pas assez pour mon imagination)
3 paquets de 36 = 3 * 36
2 paquets de 36 = 2 * 36
1 paquet de 36 = 1 * 36
0 paquet de 36 = 0 * 36
Je vois bien les 0 paquet, et à chaque fois que je fais mes courses, je constate malheureusement, qu'il y a souvent un espace vide là où je voulais voir un paquet.
Par contre, je ne cherche jamais à acheter des paquets vides. Et quand je trouve zéro paquet, je ne suis pas content, mais si un jour je trouve un paquet vide alors je demanderai des explications sauf peut-être si le prix est de 0 €...

Après on peut se demander qui opère en premier dans notre esprit, l'intuition ou l'absorbtion des règles mathématiques. Je reviens aux dessins en perspective. Le dessin est plat et on voit mieux ce qu'il représente une fois qu'on a compris la règle des arêtes en pointillées. Avec le professeur d'arts plastiques nous avons souvent des discussions sur la perspective, qui n'est pas si intuitive que cela, il suffit de demander à des sixièmes de représenter une route bordée d'arbres. On distingue très vite ceux qui connaissent la règle des autres.

Même phénomène lorsqu'on essaie de lire un tableau ou un tapisserie du moyen âge, on les décripte beaucoup mieux si on connait les règles de représentation de cette époque : les personnages importants sont plus grands que les autres, si bien que ce qui nous semble être des enfants seront plus souvent des petites gens...