[Maths] Progression 1S

Salut,
c'est la dernière fois que j'ai une première S (grâce à notre glorieux président),
je voudrais expérimenter un peu sur la progression (essentiellement garder du temps en fin d'année pour explorer deux trois trucs).

Je pensais commencer en septembre-octobre par un pack de survie (genre droit au but), puis dérouler les autres chapitres plus tranquillement. Ce pack (trinôme du second degré, géo ana y compris condition analytique d'orthogonalité, dérivation, suites)  pourrait s'organiser autour d'un petit problème facile et de différentes façons de le résoudre, et c'est l'objet de ce post.

Pb : dans un repère orthonormé, déterminer la distance entre le point A(2;7) et la droite d définie par l'équation y=0,5x+1

Solution 1 : M(x;y) est sur d, on pose f(x)=AM.  
Enjeu : une approche graphique numérique d'abord, puis étude de racine(u) où u est un trinôme. Vérification par une réciproque de Pythagore en géo ana, rappel de cinquième (la distance entre un point et une droite se mesure perpendiculairement)

Solution 2 : B(2;2) est sur d, trouver C sur d tel que AC=AB et noter K le milieu de [BC] (on brode sur l'angle droit trouvé avant).
Enjeu : équation de cercle (et réinvestissement de la résolution d'équation du second degré dans ce contexte), configurations du plan (triangle isocèle en l'occurence)

Solution 3 : le coefficient directeur de la perpendiculaire à d passant par A est m=-2.
Enjeu : équation réduite de droite, résolution d'un système 2x2, notion de vecteur directeur, de vecteur normal, et preuve par Pythagore de la condition analytique d'orthogonalité xx'+yy'=0

Solution 4 (la plus jolie) : x=2, y=7 et d sont trois droites qui déterminent un triangle rectangle dont l'aire et l'hypoténuse sont particulièrement triviales à calculer, d'où la hauteur cherchée.
Enjeu : faire des vraies maths

Problème bis : P a pour équation y=x² et A(6;1), toujours dans un repère orthonormé. On demande la distance entre le point et la parabole.

Solution : M(x;x²) et on étudie AM=racine(polynôme de degré 4) en fonction de x.
Enjeu : dérivée d'un polynôme, factorisation d'un polynôme de degré 3 (ici par x-2), application à la recherche d'extrema

Problème ter : P a pour équation y=x² et A(6;2), même question.

Solution : résolution approchée d'une équation de degré 3, par dichotomie d'abord (pour introduire les notations indiciaires), puis avec la méthode de Newton (descente de la tangente).
Enjeu : attaquer la notion de suites.

En parallèle, un travail de logique sur CN/CS, et des raisonnements par équivalence (des familles de droites, discussion du nombre de solutions d'une équation, etc).

Jusqu'à la Toussaint : des études de fonctions polynômes (dérivées à la main, en développant f(x+h), les formules de dérivation viendront plus tard), les suites classiques arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques.

Sur l'organisation concrète : problème 1 sur une séance, puis trinôme (variations, extremum, zéros et signe) sur deux séances, une heure sur fonctions usuelles racine et cube ?, solution 2 et équation de cercle, une séance, 2h exos (y compris quelques raisonnements par équivalence avec paramètre), solution 3 et condition ana d'ortho 1 séance, puis deux séances d'exos sur les vecteurs directeurs et normaux (pas de décomposition sur une base à ce stade), solution 4 cinq minutes puis pb 2, ...
Bref un mélange de "position du problème", "cours à savoir", et exos d'application.

Que pensez-vous de ce "fil rouge" ?

Je n'ai pas pu résister, pardon.

J'y ai pensé aussi.

Il y a bien longtemps que je n'ai pas eu de 1re S (plus de 13 ans, d'après iprof), donc je me garderais de donner une opinion savante.
Sans réfléchir, j'aurais attaqué la solution 3 (à force d'avoir des collégiens, sans doute, la fameuse "distance d'un point à une droite"). Conséquemment, je me demande si ce n'est pas la solution à laquelle les certains élèves penseront le plus naturellement.

Connaissant un peu les loustics, si au bout de 30 minutes j'ai un dessin (codé, soyons fous) et au bout de 50 minutes un calcul avec un point pris au hasard sur la droite, je serai content !

Evidemment il y a le "risque" qu'un élève soit bon, mais au pire je peux enchaîner sur le problème 2 et revenir à la méthode du point mobile.

Pour le coefficient directeur de la perpendiculaire, ils n'auront pas vu ça en seconde (ce n'est pas au programme, le seul qui fait ça en seconde dans mon lycée c'est moi et l'année dernière je n'ai pas eu le temps). Certains auront peut-être l'idée d'un quart de tour pour trouver ce m=-2, au pire cela entraînera des discussions intéressantes !

Je songe qu'avec la solution 3, ils pourraient déduire (assez trivialement) les coordonnées de A', symétrique de A par rapport à (d).
(Oui, je pense à voix haute, pardon. Je me demandais initialement si utiliser A' ne permettrait pas aussi une solution rapide, mais... non).

Dès que tu as les coordonnées du point d'intersection (du projeté orthogonal, donc), tu peux utiliser une symétrie centrale, qui est assez facile à exprimer analytiquement (c'est du déjà fait en seconde). Mais tu n'en feras pas grand-chose.

En prenant deux points sur d comme centres et en calculant les équations des deux cercles passant par A, ces équations doivent permettre de calculer les coordonnées de A' le célèbre symétrique de A par rapport à d. La moitié de la distance AA' est la distance cherchée.

Autant prendre un seul cercle centré sur A, et calculer les intersections avec d (pour peu que le rayon soit suffisamment grand, bien sûr), c'est la solution 2.
Le cas limite est intéressant puisque le rayon est alors la distance de A à d.

L'intérêt de chercher une intersection cercle-droite plutôt que cercle-cercle est de pouvoir isoler une variable dans l'équation de droite pour l'éliminer dans l'équation du cercle. Avec deux cercles on se ramène facilement à ce cas pour peu qu'on développe et qu'on forme la différence des deux équations ; on tombe alors sur une équation de la corde commune passant par les deux points d'intersection.

Bien entendu, le cas où il n'y a qu'un seul point d'intersection doit être mis en avant et bien intégré, pour la suite des événements : la dérivation.

Tu peux trouver directement le projeté par une intersection cercle droite: M un point de (d), K le milieu de AM, le cercle de centre K passant par A et M recoupe (d) au point recherché.

Pas besoin du milieu, le diamètre suffit : on peut exprimer l'appartenance au cercle par la condition analytique d'orthogonalité ou plus simplement par la relation de Pythagore. Ça me plaît bien comme idée, je mets ça en solution 3 bis, ça me permettra de parler d'équation de cercle obtenue à partir des deux extrémités d'un diamètre :-)

C'est vrai que c'est bien comme idée.

Et sur l'idée d'alterner des moments de cours brefs (je fais la liste en-dessous), séances d'exos basiques, et retours au problème de départ, afin de faire 7 chapitres du bouquin en sept semaines (j'ai compté) ?

* variations d'un trinôme et extremum : rappel réinvestissement de seconde
* zéros et signe d'un trinôme
* fonctions usuelles, fonctions associées, fonctions composées
* distance et milieu dans un repère, configurations, condition analytique de colinéarité : rappel réinvestissement de seconde
* équation de cercle (forme canonique, forme développée), intersections (systèmes de d° 2)
* CN, CS, CNS, raisonnement par équivalence avec paramètre (typiquement "pour quelle valeur de m la droit d_m : 2mx+(1-m)y+3 passe par (3;5) ?")
* vecteur directeur, vecteur normal, équation cartésienne de droite
* dérivée d'un polynôme, équation de la tangente, lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction
* polynômes : factorisation grâce à une racine, retour sur les tableaux de signes
* suites : relation de récurrence, terme général, suites de référence (A,G,AG), représentations graphiques
* algo : dicho, Newton, calcul d'un terme, seuil, somme
* notion intuitive de convergence

L'idée est ... lumineuse, j'espère que les certains élèves apprécieront. Un programme ambitieux pour sept semaines. Une idée de DM ?

Les DM que je donnerai seront a priori sur le modèle "f(x)=..., tracé de la courbe dans un repère proposé par l'énoncé, lecture des variations et du signe, détermination d'une équation de droite (une sécante ou une tangente), position de la courbe par rapport à cette droite (éventuellement en donnant une forme factorisée et en demandant de la développer", avec des fonctions polynôme de d° 3, ou bien des quotients de trinôme par une fonction affine (mais c'est plus enquiquinant à dériver "à la main").

Sans doute aussi quelques exercices de trigo "hors progression", du type "coder la figure, quelle formule déduire de l'égalité des aires ?".

En général je donne plutôt des DM d'entraînement ; quand je donne des choses compliquées je préfère que ce soit en classe.

Bonne idée la trigo !

La trigo pose souvent problème dans le supérieur car les élèves n'en font pas assez au lycée, y compris des choses très simples et utiles, comme p.ex le cosinus comme opérateur de projection.

Tiens, un exo sympa que mon fils a eu en MPSI cette année : simplifier cos(arcsin(x)) et tan(arcsin(x)).
Fait en deux secondes avec un niveau correct de collège.

ben2510 a écrit:Tiens, un exo sympa que mon fils a eu en MPSI cette année : simplifier cos(arcsin(x)) et tan(arcsin(x)).
Fait en deux secondes avec un niveau correct de collège.

 Comment réagissent des élèves de MPSI après trois années de lycée ?

Ils sont en PLS, mais une fois qu'on a bien tapé dessus ils font un dessin (enfin ça marche pour le mien).

ben2510 a écrit:Pas besoin du milieu, le diamètre suffit : on peut exprimer l'appartenance au cercle par la condition analytique d'orthogonalité ou plus simplement par la relation de Pythagore. Ça me plaît bien comme idée, je mets ça en solution 3 bis, ça me permettra de parler d'équation de cercle obtenue à partir des deux extrémités d'un diamètre :-)

Ah oui, j'ai loupé l'orthogonalité par le produit scalaire.

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:Pas besoin du milieu, le diamètre suffit : on peut exprimer l'appartenance au cercle par la condition analytique d'orthogonalité ou plus simplement par la relation de Pythagore. Ça me plaît bien comme idée, je mets ça en solution 3 bis, ça me permettra de parler d'équation de cercle obtenue à partir des deux extrémités d'un diamètre :-)

Ah oui, j'ai loupé l'orthogonalité par le produit scalaire.

Dans un premier temps je ne parle pas de produit scalaire mais seulement de condition analytique d'orthogonalité !
Genre A et B ont les mêmes coordonnées que les vecteurs u(x;y) et v(x';y'), alors u et v sont normaux ssi OAB est rectangle en O ssi ...
(on développe, on réduit, on divise par 2) ... ssi xx'+yy'=0.

Je reviens sur le produit scalaire fin novembre, je pense, avec les quatre formes, puis en mars avec les applications (th. médiane, Al Kashi, formules trigonométriques d'addition etc...)

ben2510 a écrit:Salut,
c'est la dernière fois que j'ai une première S (grâce à notre glorieux président),
je voudrais expérimenter un peu sur la progression (essentiellement garder du temps en fin d'année pour explorer deux trois trucs).

Je pensais commencer en septembre-octobre par un pack de survie (genre droit au but), puis dérouler les autres chapitres plus tranquillement. Ce pack (trinôme du second degré, géo ana y compris condition analytique d'orthogonalité, dérivation, suites)  pourrait s'organiser autour d'un petit problème facile et de différentes façons de le résoudre, et c'est l'objet de ce post.

Pb : dans un repère orthonormé, déterminer la distance entre le point A(2;7) et la droite d définie par l'équation y=0,5x+1

Solution 1 : M(x;y) est sur d, on pose f(x)=AM.  
Enjeu : une approche graphique numérique d'abord, puis étude de racine(u) où u est un trinôme. Vérification par une réciproque de Pythagore en géo ana, rappel de cinquième (la distance entre un point et une droite se mesure perpendiculairement)

Solution 2 : B(2;2) est sur d, trouver C sur d tel que AC=AB et noter K le milieu de [BC] (on brode sur l'angle droit trouvé avant).
Enjeu : équation de cercle (et réinvestissement de la résolution d'équation du second degré dans ce contexte), configurations du plan (triangle isocèle en l'occurence)

Solution 3 : le coefficient directeur de la perpendiculaire à d passant par A est m=-2.
Enjeu : équation réduite de droite, résolution d'un système 2x2, notion de vecteur directeur, de vecteur normal, et preuve par Pythagore de la condition analytique d'orthogonalité xx'+yy'=0

Solution 4 (la plus jolie) : x=2, y=7 et d sont trois droites qui déterminent un triangle rectangle dont l'aire et l'hypoténuse sont particulièrement triviales à calculer, d'où la hauteur cherchée.
Enjeu : faire des vraies maths

Et en bonus, montrer que toutes ces solutions conduisent à la même formule générale de la distance entre un point A(x_A, y_A) et (d) d'équation mx+p ?

M'ouais. Un peu tôt. En début d'année, mon objectif n'est pas trop la subtilité à ce stade, mais plutôt de mettre en place les points importants du programme (dérivation, suites, ps).
De plus, la formule habituelle est plutôt celle avec une équation de droite sous forme cartésienne.
Et en début d'année je n'aurai pas traité la valeur absolue.
Enfin, une fois le produit scalaire vu, il est facile de retrouver cette formule en mélangeant forme analytique et forme avec le projeté orthogonal (je ferai ça en même temps que Cauchy Schwarz et Gram Schmidt).

Mais je garde l'idée sous le coude, elle peut être intéressante pour construire un peu d'abstraction !

Je me sens assez flemmard pour l'année prochaine et je lis le sujet avec la ferme intention d'y trouver des idées sans rien proposer (le parasite quoi...)

Je pense un peu comme Ben que cela me parait un peu ambitieux en début d'année, tu risques de tomber de haut (et les parents tomberont sur toi précipitant ta chute..) en voyant le niveau en géométrie analytique (en général aucune formule apprise, la moitié ignorant leur existence...)