Question mathématique : triangle isocèle aplati

Bonjour,

Un triangle aplati est-il un triangle ?
La question qui tue...
Bon, certains diront oui, d'autres non, je suppose.

Voici une situation :
Si B appartient au segment [AC] tel que AB = 2 et BC = 3, on a AC = 5 et B n'est pas le milieu de [AC].
Le triangle ABC est aplati donc mes(A) = mes(C) = 0° et mes(B) = 180° : le triangle a donc les 2 angles A et C de même mesure, donc il est isocèle en B -> contradiction.
Ainsi, la propriété "Si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle" devrait plutôt s'écrire "Si un triangle NON APLATI a deux angles de même mesure, alors il est isocèle", non ?

Remarques :
* Un triangle aplati n'est pas nécessairement isocèle : il peut l'être ou non.
* En revanche, la propriété "Si un triangle est isocèle, alors il a deux angles de même mesure" reste vrai, même dans le cas du triangle isocèle aplati.

Dans un même ordre d'idée,
Si B et C sont confondus, le triangle ABC est aplati, il est même isocèle (puisque AB = AC) rectangle en B / C et dans ce cas, il y a deux hypoténuses : [AB] et [AC], deux angles droits (B et C) et un angle nul (A).
Cela vous surprend-il ?

Non, pas surpris, car les triangles aplatis ne sont jamais étudiés (quel intérêt ?) sauf dans le cas de l'inégalité triangulaire en 5°.
Si je te demande de visualiser un triangle dans ta tête, jamais tu ne l'imagineras aplati : on a tous la conception d'un triangle comme étant non aplati. Donc oui, ta propriété est complète mais comme tout le monde se fout des triangles non aplatis, on peut se permettre un petit abus de langage

Ahah j'adore ta réponse Senochel
C'est vrai qu'ils n'ont pas beaucoup leur place dans les programmes.
Ta réponse va pour les deux cas que mis en avant ?

NéoTiT a écrit:Ahah j'adore ta réponse Senochel
C'est vrai qu'ils n'ont pas beaucoup leur place dans les programmes.
Ta réponse va pour les deux cas que mis en avant ?

Je répondais juste à ta propriété "si un triangle non aplati a deux angles de même mesure, alors il est isocèle", ce qui est parfaitement vrai.
Mais tu sais, tout n'est que vulgarisation et simplification au collège. As-tu envie de définir une droite en 6° comme étant un "espace affine de dimension 1" ? Ou plutôt, comme dans certains manuels : "ligne droite illimitée" ? ...

Je sais, et parfois, cela me déprime ^^

NéoTiT a écrit:Je sais, et parfois, cela me déprime ^^

Et que penses-tu de la définition de la translation au collège ? Elle envoie du pâté !
Au fait, je me permets, j'apprécie tes posts, tu as raison, notre discipline nécessite de la rigueur et on est amené à nous interroger tout au long de notre carrière...

Je n'en pense que... on ne définit pas grand chose.
Il me semblait que le collège permettait de passer de la géométrie perceptive de l'école primaire à la géométrie déductive...
On revient en arrière j'ai l'impression.
Aucun formalisme (translation, rotation, homothétie), du flou artistique sur certaines notions et ce que l'on doit y introduire, etc.
Mais ce n'est pas parce que ce n'est pas fait qu'il ne faut pas le faire.
D'où certaines de mes interrogations, que je note au fur et à mesure.
Merci pour ce compliment
J'essaie de faire de mon mieux et je préfère poser une question idiote qui me permettra de m'améliorer ou de changer de point de vue plutôt que de rester avec un doute ou dans une optique fermée telle que "c'est comme ça et ça ne changera pas".

NéoTiT a écrit:Je n'en pense que... on ne définit pas grand chose.
Il me semblait que le collège permettait de passer de la géométrie perceptive de l'école primaire à la géométrie déductive...
On revient en arrière j'ai l'impression.
Aucun formalisme (translation, rotation, homothétie), du flou artistique sur certaines notions et ce que l'on doit y introduire, etc.
Mais ce n'est pas parce que ce n'est pas fait qu'il ne faut pas le faire.
D'où certaines de mes interrogations, que je note au fur et à mesure.
Merci pour ce compliment
J'essaie de faire de mon mieux et je préfère poser une question idiote qui me permettra de m'améliorer ou de changer de point de vue plutôt que de rester avec un doute ou dans une optique fermée telle que "c'est comme ça et ça ne changera pas".

Tout à fait d'accord avec toi.

On peut encore faire dégénérer le triangle jusqu’à n'avoir qu'un point.
Le triangle est alors équilatéral : AA=AA=AA=0.
On en déduit que l'angle AAA mesure 60°.
Mais on a aussi AA²+AA²=AA². Le triangle AAA est donc rectangle en A et  l'angle AAA mesure 90°.

Je crois qu'il prudent, au collège, de préciser que les triangles ne sont pas aplatis : un triangle est donné par ses sommets qui sont trois points distincts non alignés.
On peut éventuellement parler de triangles aplatis, mais c'est dangereux à ce niveau.

verdurin a écrit:Je crois qu'il prudent, au collège, de préciser que les triangles ne sont pas aplatis : un triangle est donné par ses sommets qui sont trois points distincts non alignés.
On peut éventuellement parler de triangles aplatis, mais c'est dangereux à ce niveau.

Et pourtant, bon nombre de profs en parlent...

Et une erreur cesse d'en être une quand elle est partagée par suffisamment de gens...

Si je vois bien l’intérêt de parler de parallélogrammes aplatis, j'ai du mal à voir celui de parler de triangles aplatis.
C'est juste pour éviter de dire « trois points » ?
Ou y a t-il un intérêt qui m'échappe ?

Dans ce dernier cas, je suis toujours heureux d'apprendre.

Parallélogrammes aplatis pour les translations ?
Le 3ème sommet d'un triangle, que l'on construit, peut appatenir au segment de base : c'est un cas possible pour lequel la définition d'un triangle (polygone à 3 côtés) n'est pas remise en cause.

C'est bien ce que je pensais : on dit triangle pour ne pas dire trois points.
Il me semble que l'avantage est suffisamment faible pour que l'on puisse s'en passer au vu des inconvénients que ceci entraîne.

Quand j'ai débuté on voyait en quatrième le plan affine  (Z/2Z)². (En fait on vérifiait juste les axiomes d'incidence).
C'était amusant et ça intéressait les élèves.
Mais je n'ai pas pleuré quand on a supprimé cette étude des programmes.

[edit] Oui, les parallélogrammes aplatis pour les translations.
Mais là aussi on est pas obligé de parler de parallélogramme : on peut donner une définition de « couples de points équipollents » puis remarquer qu'en général deux couples de points équipollents forment un parallélogramme.
Mais je doit bien dire que c'est un vocabulaire un peu prétentieux, même si il a l'avantage d'être précis.

Selon toi, ce cas-là est donc inutile ?

J'ai modifié mon message.

Mais oui, je pense que ce cas est inutile.
On peut très bien dire : « on peut construire trois points A, B et C vérifiant AB=c, BC=a et CA=b si et seulement si a est entre (au sens large) |b-c| et b+c.
Et même rajouter que l'on a un triangle si les inégalités sont strictes. Mais ce dernier point est une mauvaise idée, à mon avis, compte tenu du nombre de gens qui disent le contraire.

Des valeurs absolues, en 5eme? Ambitieux tu es.

Je les ais mises pour faire court.
Je ne crois pas que tu sois un élève de cinquième.

Okay.
Il faudrait definir un triangle avec 3 points distincts pour eviter le probleme de degenrescence où 2 au moins des points sont confondus.

Si on définit un triangle comme étant un ensemble de trois points, il faut simplement prendre garde au fait que l'on n'a pas trois angles toujours bien définis en chaque sommet.

En fait on les utilise essentiellement dans la leçon sur l'inégalité triangulaire.

Je précisais aux élèves que dans certains énoncés on sous-entend triangle non dégénéré (non plat et ou sommets distincts). On fait de même avec d'autres polygones ou solides.

@verdurin :

verdurin a écrit:"Le triangle est alors équilatéral : AA=AA=AA=0.
On en déduit que l'angle AAA mesure 60°."

En même temps, si les trois points sont confondus, il n'y a pas d'angle.
N'est-ce pas ce que l'on apprend aux élèves de Tale avec les complexes et plus particulièrement les arguments ?

J'ai résisté et longuement réfléchi avant d'écrire ce qui suit. Désolé...

Suis-je le seul à trouver la flopée de fils ouverts par NéoTiT où ce dernier pose systématiquement des questions, certes intéressantes (surtout pour un non mathématicien comme-moi).

L'accumulation me semble un poil étrange...

Aucun problème.
Je vais te répondre : je suis sur un forum, dans la catégorie 'mathématiques', dans lequel je pose des questions de ... mathématiques, avec des personnes avec qui on peut discuter de pédagogie (et pas que...) concernant cette belle matière.
À priori, ta discipline est l'anglais, donc si tu trouves mes questions intéressantes (et même si cela n'était pas le cas d'ailleurs !), je ne comprends pas en quoi cela te gène ni ce que cela peut te faire...
Évidemment, toute le monde a le droit de réagir mais Je reste interdit devant cette remarque que je trouve sans fondement et qui n'a rien à voir avec le sujet.
Peut-être faudrait-il faire une pétition...

Ah, j'ai compris!

C'est parce que je clique sur "nouveaux sujets".

Et aussi, peut-être parce que j'ai connu comme étant principalement un forum de professeurs de Lettres - mais ça c'était |avant| ;o) -

Si tout le monde y trouve son compte, in fine, tant mieux.

Quand j'ai débuté dans le métier, internet naissait. Et donc, je ne pouvais demander une/des réponse (s) aux questions que je me posais alors.

Bon courage car il semble que tu te poses (toi aussi) beaucoup de questions!

J'espère que Néo t'apportera des réponses (en fait, j'en suis certain!).

verdurin a écrit:On peut encore faire dégénérer le triangle jusqu’à n'avoir qu'un point.
Le triangle est alors équilatéral : AA=AA=AA=0.
On en déduit que l'angle AAA mesure 60°.
Mais on a aussi AA²+AA²=AA². Le triangle AAA est donc rectangle en A et  l'angle AAA mesure 90°.

Ben là pour le coup, avec un triangle réduit à un point, y'a pas forcément incohérence :
L'angle AAA n'est pas défini, il ne mesure pas plus 0 que 60 ou 28°...
par ailleurs la récip de Pythagore part du côté le plus long, donc là encore, pas d'incohérence.

En revanche, il est vrai que pour un triangle aplati, les angles sont effectivement définis, et effectivement il y en a 2 égaux, alors que le "triangle" n'est alors pas isocèle.
Cela dit, je ne suis pas sûre de la pertinence de faire apprendre aux élèves "si un triangle NON APLATI a deux angles égaux alors il est isocèle"...
C'est peut-être une erreur de ma part mais je préfère insister sur les exceptions importantes, par exemple j'insiste toujours sur :
"Dans une fraction, si on multiplie ou on divise le numérateur ET le dénominateur par un même nombre NON NUL, alors on obtient une fraction égale", et là oui, j'insiste sur ce qui est en majuscules parce que plus tard, quand on fait les ensembles de définition, ou des résolution d'équations ou d'inéquations, il est fréquent que les élèves fassent des simplifications abusives sans vérifier ce qui leur donne un résultat faux.
Alors que le cas du triangle aplati me paraît quand même plus anecdotique...

il y a tout de même un problème de dimension : un segment c'est en 1D et un triangle en 2D.
On ne peut pas augmenter / diminuer de dimension comme ça sans précautions, ainsi, l'équation x² = 2x n'est pas la même que x=2 !