question de notation de dérivée.

Oui. Je pense vaquer aussi. Point trop n'en faut, comme disait Giscard.

Bonsoir.
Juste pour rire :

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) qui est définie pour x>6.

Il manque un quantificateur.
On ne peut pas en déduire que f(7)=54.
Tout ce qu'on peut en déduire c'est qu'il existe un  x (on ne sait dans quel ensemble) vérifiant x>6 et f(x) = (x^2 + 5)/(x-6).

En particulier on peut très bien penser que la fonction f est définie sur R par
       quel que soit u dans R : f(u)=u+48


[correction à la demande,justifiée, de RogerMartin]

PauvreYorick a écrit:La toute première fois, non, quand même !

J'ai été élevée dans le bourbakisme le plus pur. :fille: On m'avait dissimulé ces horreurs.


Anax : jamais le grand chauve ne fut cité à meilleur escient.

verdurin a écrit:Bonsoir.
Juste pour rire :

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) qui est définie pour x>6.

Il manque un quantificateur.
On ne peut pas en déduire que f(7)=54.
Tout ce qu'on peut en déduire c'est qu'il existe un  x (on ne sait dans quel ensemble) vérifiant x>6 et f(x) = (x^2 + 5)/(x-6).

En particulier on peut très bien penser que la fonction f est définie sur R par
       quelque soit u dans R : f(u)=u+48

Pitié... quel que soit... déjà que je peine à suivre...

Call_BB5A a écrit:L'égalité (u/v)' = (u'v-uv')/v² possède une double nature : formelle et fonctionnelle.

Pour que la dérivée (fonction) existe il ne suffit pas que la dérivée formelle existe. Il y a des conditions supplémentaires imposées par le théorème lui même : sur un intervalle, si u et v sont dérivables et que v ne s'annule pas alors u/v est dérivable et (u/v)'=(u'v-uv')/v². La dérivée formelle ne peut correspondre à l'expression de la fonction dérivée que si les conditions sont satisfaites.

Il faut bien distinguer ces deux natures.

A titre d'exemple sur le corps Fp=Z/pZ on peut considérer la fraction formelle 1/(X^p-X) alors que la fonction qui à X associe 1/(X^p-X) n'existe pas, puisqu'elle n'est définie nulle part en vertu du petit théorème de Fermat (X^p-X = 0 modulo p).

Pour revenir à cette histoire de dérivée, on peut considérer la fonction f=u/v partout sauf en zéro où on donne à f(0) une valeur différente de u(0)/v(0). Dans ce cas on peut appliquer la dérivation formelle de u/v partout même en 0 quand bien même f n'est pas dérivable en 0.

Tout à fait et cela fait n+1 pages que l'on veut nous faire naviguer en maintenant une ambiguïté à ce titre.

La fonction n'existe pas (ou plutôt n'est pas définissable) alors que la fraction rationnelle a une existence parfaitement définie. Elle n'est nullement un objet "dans les limbes" qui serait en attente de validation. Son existence est mathématiquement claire et non ambiguë (et pour ça il ne suffit pas de l'écrire comme on mangerait un gâteau qui lui n'a pas d'existence mathématique faute de définition ) et SURTOUT elle peut servir à quelque chose, même si on ne peut lui associer aucune fonction qui opèrerait sur des entiers (de Z/pZ)

PauvreYorick a écrit:La toute première fois, non, quand même !

Si !

Spoiler:

e1654d a écrit:Si vous vous attachez à parler des expressions en tant que telles, je ne comprends pas pourquoi vous avez besoin de tant de paragraphes (TLDR) pour montrer leur existence : il suffit de les avoir écrites. La preuve du pudding, c'est qu'on le mange ; la preuve des expressions, c'est qu'on les écrit.

C'est devenu long, car cette simple vérité a du mal à se faire entendre

Ce que j'indique seulement, c'est que, pour pouvoir parler d'un objet mathématique, dont j'espère quand-même qu'on est d'accord qu'il est une chose abstraite, il faut bien lui accorder une notation formelle, mais que cette notation formelle est quelque part distincte de l'objet en soi.  Comme l'expression "Jules" est distincte de la personne qu'on désigne par le nom.  Quand l'association entre l'expression formelle, et l'objet mathématique abstrait est avérée, il n'y a pas de problème à confondre, dans la suite d'un raisonnement, les deux.

Tout l'avantage d'une expression formelle non-atomique, est qu'elle formule en fait le problème auquel l'objet mathématique serait la solution.  Ce n'est que quand l'expression est atomique, qu'elle désigne l'objet par un nom direct.

Quand on écrit 8/2, on écrit une expression formelle qui peut être interprétée comme l'objet mathématique qui serait la solution unique de la division de 8 par 2, ou encore, la solution de l'équation 2 x = 8, mais sans qu'on avait besoin de donner explicitement le nom "x".

Mais quand on est en phase d'exploration de l'existence même du dit objet mathématique, il faut bien pouvoir formuler le problème auquel cet objet, s'il existe, serait la solution unique, et quoi de mieux, que l'expression formelle qui spécifie le dit problème ?

Pourquoi INTERDIRE cette formulation de l'objet mathématique hypothétique, dont on est, justement, en train d'explorer son existence ou non ?   Pourquoi se rendre la vie difficile en interdisant la *formulation de la question par une expression formelle* ?

C'est tout.

On a répondu.

Call_BB5A a écrit:L'égalité (u/v)' = (u'v-uv')/v² possède une double nature : formelle et fonctionnelle.

Pour que la dérivée (fonction) existe il ne suffit pas que la dérivée formelle existe. Il y a des conditions supplémentaires imposées par le théorème lui même : sur un intervalle, si u et v sont dérivables et que v ne s'annule pas alors u/v est dérivable et (u/v)'=(u'v-uv')/v². La dérivée formelle ne peut correspondre à l'expression de la fonction dérivée que si les conditions sont satisfaites.

Oui, bien sûr.  Mais quand on peut substituer, dans l'expression formelle, un nombre, et le calcul peut se faire jusqu'au bout, alors l'existence de la dérivée fonctionnelle est prouvée aussi.  Quand la dérivée formelle se matérialise en nombre après substitution par un nombre pour x, cette dérivée formelle devient le nombre dérivé, et c'est exactement cela que veut dire "dérivabilité" (dans le cadre fonctionnel, on entend bien ; car on pourrait parler de "dérivabilité" dans le cadre formel aussi).

On tombe toujours sur la même problématique: quand le formel donne lieu à un problème qu'on arrive à résoudre, ben, il représente bien ce résultat en question, mais pour constater cela, il faut bien ECRIRE ce formel.

Il faut bien distinguer ces deux natures.

Tout a fait.  Mais, comme je disais, cette structure "formelle" est quelque part intermédiaire entre le formel brut niveau "langage formel type L1", et "le fonctionnel réel".  C.a.d. on a une structure d'objet mathématique (l'anneau polynomial formel par exemple) qui n'est pas un ensemble de fonctions, mais qui est quand-même équipé de plus de structure (c'est un anneau: il a donc des règles de CALCUL, qui ne sont pas présentes au niveau L1).

Au niveau formel type L1, on peut écrire l'expression F(x) = (x+x), mais à ce niveau-là, ça ne se transforme pas en 2x, car la structure n'y est pas.  Par contre, on peut parfaitement écrire F(8) = (8+8), car la règle de substitution existe à ce niveau.

Au niveau R[X], on peut écrire l'expression f(x) = (x+x), et elle est bien remplaçable par f(x) = 2x, car la structure d'anneau le permet.  Sauf que ce n'est pas une fonction.  On ne peut pas dire que "2 est un élément du domaine de f", car f n'a pas de domaine, ce n'est pas une fonction.

A niveau de la fonction, on peut dire que f(x) = (x+x) = 2x, car maintenant, x représente un nombre réel.  On peut parler du domaine, on peut envisager de vouloir calculer f(2) = 2.2 = 4.

Mais on n'est pas obligé de passer par l'anneau formel, qui ne fait plus du tout parti du programme de lycée.  

Cette évasion dans les structures algébriques, certes fort intéressante, n'est pas vraiment ce dont j'essaie de parler.

A titre d'exemple sur le corps Fp=Z/pZ on peut considérer la fraction formelle 1/(X^p-X) alors que la fonction qui à X associe 1/(X^p-X) n'existe pas, puisqu'elle n'est définie nulle part en vertu du petit théorème de Fermat (X^p-X = 0 modulo p).

Oui, parfaitement.  C'est d'ailleurs ce qui permet l'application des polynômes formels d'ordre indéterminé sur les polynômes fonctionnels en Z_p, car cette opération modulo "replie" toutes les ordres supérieures à p-1 à leur équivalent fonctionnel inférieur, justement, par l'identité X^p = X.  Comme X^p - X n'est pas un polynôme irréductible (on peut toujours le factoriser en X ( X^(p-1) - 1) et d'avantage), ça fait que ce Fp ne sera pas une représentation d'un champs de Galois.

Pour illustrer, considérez p = 3.  Alors, le polynôme formel f(X) = 2.X^4 + X^3 est dans Z_3[X].  Dans l'anneau modulaire Z_3[X]/(X^3 - X), f est dans la même classe d'équivalence que g(X) = 2X^2 + X (si je ne me suis pas trompé).  Donc les deux écritures représentent alors le même élément, le même truc mathématique.  Mais dans l'anneau Z_3[X], ce sont deux éléments différents.  
Dans l'anneau polynomial fonctionnel sur Z_3, f et g sont bien deux expressions de la même fonction, comme dans Z_3[X]/(X^3 - X).  Par contre, dans Z_3[X], ce sont deux éléments différents.

Dans le langage formel brut, F(X) = 2.X^4 + X^3 et H(X) = X^4 + X^4 + X^3 sont deux expressions formelles distinctes.  Par contre, dans les structures Z_3[X], Z_3[X]/(X^3 - X) et dans les fonctions de Z_3 en Z_3, ces deux expressions indiquent le même objet mathématique chaque fois.  

De même, dans le langage formel brut, J(X) = 1/(X^2 + X + 2) et K(X) = X^2 + X + 2 sont deux expressions formelles distinctes.
Dans la structure Z_3[X], J n'existe pas, mais K existe.  Dans la structure Z_3[X]/(X^3 - X), par contre, non seulement, J et K existent, ce sont même les mêmes éléments (car K est l'inverse de lui-même si je ne me suis pas trompé).  Il s'avère que J et K sont aussi les mêmes fonctions sur Z_3, mais ce n'était pas garanti.  Si jamais K avait 0 dans son image (dans cet exemple, ce n'est pas le cas), alors J et K seraient des fonctions différentes (domaine différent). Si j'écris L(X) = 1/X, L n'existe pas dans l'anneau Z_3[X] ; L n'est pas dans l'anneau Z_3[X]/(X^3 - X) non plus. Par contre, L est bien une fonction de Z_3 en Z_3, avec comme domaine, {1,2}.

Pour revenir à cette histoire de dérivée, on peut considérer la fonction f=u/v partout sauf en zéro où on donne à f(0) une valeur différente de u(0)/v(0). Dans ce cas on peut appliquer la dérivation formelle de u/v partout même en 0 quand bien même f n'est pas dérivable en 0.

On ne peut pas, car quand on donne à f(0) une autre valeur que u(0)/v(0), f n'est plus représentable par le quotient u/v.  On ne peut plus dire que f = u/v et donc, la dérivée de f n'a plus rien à voir avec la dérivée de u/v (formelle ou fonctionnelle).

Ce qu'on démontre, en menant à bien le calcul de (u' v - v' u)/v^2, en un point a, c'est que la fonction u/v est dérivable en a.  Quand on parle d'une autre fonction f que u/v, alors rien n'est dit de f, bien sûr.

C'est le même genre de raisonnement de dire que f(x) = u(x)/v(x) quand x > 3, et f(x) = 12 - x quand x =< 3, et de dire que la dérivée formelle de f comme dérivée de (u/v) existe en -8.  Non, f n'est simplement pas u/v.  C'est une autre fonction.  Elle coïncide avec u/v sur une partie du domaine, mais c'est tout.

Anaxagore a écrit:On a répondu.

Non, on a répondu qu'on l'interdit. On n'a pas dit pourquoi.

On a répété souvent que ça ne se fait pas, que se sont les attentes, qu'on arrive aussi à faire comme ça etc...
mais je n'ai pas vu une RAISON pour l'interdire.

(sauf si ça avait quelque chose à avoir avec des excréments, mais je n'ai pas saisi la logique... )

@Zarathustra
Pourriez-vous rajouter les () qui manquent dans les citations que vous avez faites de mon message ?
Cela me soulagerait, parce que là, la rigueur en a pris un coup.
Merci beaucoup.

Et sinon, on a répété "pourquoi" depuis 8 pages.

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:On a répondu.

Non, on a répondu qu'on l'interdit.  On n'a pas dit pourquoi.

On a répété souvent que ça ne se fait pas, que se sont les attentes, qu'on arrive aussi à faire comme ça etc...
mais je n'ai pas vu une RAISON pour l'interdire.

(sauf si ça avait quelque chose à avoir avec des excréments, mais je n'ai pas saisi la logique... )

Le sens.

neo-fit a écrit:@Zarathustra
Pourriez-vous rajouter les () qui manquent dans les citations que vous avez faites de mon message ?
Cela me soulagerait, parce que là, la rigueur en a pris un coup.
Merci beaucoup.

C'est fait. (je crois que c'est ce que vous vouliez dire...)\

RogerMartin a écrit:Et sinon, on a répété "pourquoi" depuis 8 pages.

Avec le vain espoir de finalement, en posant la question de 100 façons différentes, d'obtenir une réponse peut-être ?
Afin d'essayer d'amener la question à une formulation qui permet aux autres partis de mieux saisir le sens ?

On pourrait le dire autrement: jusqu'ici, les réponses méritent souvent une barre rouge et un "hors sujet, n'a pas compris la question".

Anaxagore a écrit:

Zarathustra a écrit:

Anaxagore a écrit:On a répondu.

Non, on a répondu qu'on l'interdit.  On n'a pas dit pourquoi.

On a répété souvent que ça ne se fait pas, que se sont les attentes, qu'on arrive aussi à faire comme ça etc...
mais je n'ai pas vu une RAISON pour l'interdire.

(sauf si ça avait quelque chose à avoir avec des excréments, mais je n'ai pas saisi la logique... )

Le sens.

Reparti pour un tour.   Le sens y est.  

Quand on écrit: 41/0, le sens est parfaitement clair: c'est l'expression symbolique d'un problème qui potentiellement avait comme solution, un nombre, et si cette solution unique existait, représenterait cette solution, et par de sa nature non-réductible indique que, finalement, ce problème s'avère ne pas avoir une solution.   Quand la question posée était, justement, si ce problème avait une solution, ça y répond parfaitement.

L'expression symbolique détermine parfaitement le problème à résoudre, qui est, justement, le sens de toute expression symbolique non-atomique: poser un problème et se substituer à la solution unique si elle existe.

Maintenant, des discussions dans ce fil, j'ai compris qu'un mathématicien ne veut, visiblement, pas voir une expression symbolique comme l'expression d'un problème, mais directement comme représentant la solution unique de celui-ci. Mais je ne comprends pas la raison pour laquelle il s'impose cette restriction, car cela rend la vie difficile, justement, quand on veut poser la question "du sens", c.a.d. de l'existence, où non, de l'objet mathématique, solution unique d'un problème posé.

En interdisant cette écriture, on interdit, carrément, l'expression formelle de la question. Je ne vois pas l'utilité de cette interdiction. Il y a peut-être une raison logique, mais je l'ignore.

Tant que vous voudrez tourner vous ferez des tours.

41/0 est "un problème" maintenant. En mathématique on écrit des mathématiques. Ce n'est pas de la sténographie mysticisante.

En y branchant une dynamo, on pourrait peut-être en faire quelque chose, non ?

Sommaire de cette page :

   La prétendue impossibilité de Diviser par Zéro: toute la Lumière sur un grand Mensonge scientifique!
   Toute la Vérité sur tout ce qui se cache derrière et sur les enjeux de la Division par Zéro...
       - Il est grand temps de comprendre enfin à quel point c'est grave de ne pas savoir faire la simple opération 1/0...
          Ou plutôt, de commencer à comprendre la gravité du mensonge selon lequel la Division par 0 serait impossible...
       - La Division par Zéro dans le Paradigme du Cycle et de l’équivalence, le Cycle de l'Univers TOTAL,
          la Loi de l'Alpha et de l'Oméga, la Loi Fondamentale de l'Univers, la Formule du TOUT!
       - L'Equivalence, le Cycle et les ordinaux cycliques, dynamiques, variables!
   La Négation et le Problème de la Division par Zéro, l'Alternation et le Retour à l'Alpha et l'Oméga
       - Les conséquences très néfastes pour la science et la technologie de l'incapacité actuelle à savoir diviser par 0,
          incapacité due au fait que les sciences fondées sur la Négation de l'Univers TOTAL
       - La Négation, le Néant, le Vide, le Rien, et le problème de la Division par Zéro
       - La Négation: la chose paranormale dans les sciences et dans le monde
          qui a empêché de faire une division aussi simple que de tracer un Cercle avec un Compas...
   Voir aussi

http://hubertelie.com/u_set_scien-fr-250-000-division-par-zero-0-fait-entrer-science-et-technologie-dans-nouvelle-dimension.html

VinZT a écrit:En y branchant une dynamo, on pourrait peut-être en faire quelque chose, non ?

Anaxagore a écrit:Tant que vous voudrez tourner vous ferez des tours.

41/0 est "un problème" maintenant. En mathématique on écrit des mathématiques. Ce n'est pas de la sténographie  mysticisante.

Bien sûr que c'est un problème. Est-ce que pour vous, 8/2 n'est pas un problème ? Ne symbolise-t-il pas le problème
"quel est l'unique nombre x tel que 2 x = 8" ? Que représente 8/2 pour vous alors ?

Un élément de Q.

Balthazaard a écrit:Sommaire de cette page :
   La prétendue impossibilité de Diviser par Zéro: toute la Lumière sur un grand Mensonge scientifique!
 

A défaut de répondre à une question parfaitement légitime, simple et claire, peut-être parce qu'elle vous gêne, je ne sais pas, il me semble que vous essayez de noyer le poisson avec beaucoup de hors sujet et de fausse logique, non ? En quoi cette question simple vous gêne tellement ?

"Pourquoi interdire l'expression symbolique d'un objet mathématique dont, justement, la question est son existence et dont l'expression symbolique, comme toujours, représente le problème auquel cet objet, s'il existe, serait l'unique solution ?" Quel est l'avantage de faire cela sur le plan logique - ou autrement, quel problème se poserait-il si on le permettait ?

C'est une question simple, non ? Vous êtes incapable d'y répondre et il vous faut 8 pages pour finalement, aller totalement hors sujet avec des propositions qui, à part un petit jeu social qui peut être amusant de votre coté - et je vous souhaite beaucoup de joie, c'est finalement le but de tout le monde - ne contribuent pas à la discussion ? Vous adhérez à des interdits sans savoir pourquoi et quand on vous pose la question, ça vous embête à ce point-là ?

Anaxagore a écrit:Un élément de Q.

Ok.  Est-ce qu'un écolier de CE1 qui écrit 8/2 sera sanctionné car ils ne connaissent pas Q, mais seulement N, et 8/2 n'a un sens que dans Q ?
Ou est-ce que 8/2 symbolise : quel est le nombre (à voir dans la structure en considération) qui correspond à la solution du problème de la division de 8 par 2 ?

Est-ce que (6+2)/2 symbolise alors aussi un élément de Q et seulement ça ?  

Pourquoi cette drôle d'écriture alors ?  Qui s'amuse à inventer des symboles aussi bizarres.  Si on voulait parler de 8/2, pourquoi écrire un truc bizarre comme (6+2)/2 ? Et pourquoi ne pas écrire seulement 4 ? Qui a besoin d'écrire 8/2, (6+2)/2, quand ce n'est qu'un simple indicateur d'objet, et qu'il ne représente pas un problème à résoudre ?

J'ai toujours vu une expression non-atomique comme représentant un problème. Sinon, pourquoi utiliser une notation non-atomique.

Ici, le problème est: "quel est le nombre qu'on obtient quand on ajoute 2 à 6 et qu'on divise le résultat par 2" non ?

Lorsqu'on écrit des mathématiques on ne raconte pas sa vie intime ni ses fantasmes. Il y a des idées et des intuitions liées aux objets mathématiques. So what?

Lorsqu'on écrit des mathématiques, on écrit des mathématiques.

Anaxagore a écrit:
Lorsqu'on écrit des mathématiques, on écrit des mathématiques.

Certes, c'est très tautologique, mais je dirais quand-même que c'est hors sujet...