Introduction des vecteurs (seconde)

Bonjour est-ce que ça se fait d'introduire les bipoints avant d'introduire les vecteurs dans un cours de seconde ?

Je voudrais parler en autre, de bipoints équipollents pour bien faire voir la différence entre les bipoints qui ont une origine fixé et les vecteurs qui ont une origine arbitraire.

Qu'en pensez-vous ? Est-ce un bon choix pédagogique ou cela risque-t-il de perdre les élèves plus qu'autre chose ?

Azoth a écrit:Bonjour est-ce que ça se fait d'introduire les bipoints avant d'introduire les vecteurs dans un cours de seconde ?

Je voudrais parler en autre, de bipoints équipollents pour bien faire voir la différence entre les bipoints qui ont une origine fixé et les vecteurs qui ont une origine arbitraire.

Qu'en pensez-vous ? Est-ce un bon choix pédagogique ou cela risque-t-il de perdre les élèves plus qu'autre chose ?

Je crois que ça ne se fait plus depuis le début des années 90. De mémoire j'ai aperçu les bipoints dans le cahier de mathématiques de mon grand frère en 1988 (il était en seconde, j'étais en 6ème), mais quelques années plus tard, quand c'était à mon tour de voir les vecteurs, cette approche n'était plus au goût du jour. On ne les définissait plus (les vecteurs) que par une direction, un sens et une longueur, comme aujourd'hui.

Après tu peux toujours essayer (liberté pédagogique), mais rien ne garantit qu'ils vont accrocher.

Les programmes préconisent d'introduire les vecteurs comme "machin" qui caractérise une translation, ce qui est sans doute une des définitions les plus étranges (et je suis gentil) qu'on ait jamais vues.

Introduire les bipoints avant, tu risques de perdre pas mal de temps à définir des choses que finalement tu n'utiliseras pas (ou peu). Sauf si tu veux à tout prix définir les vecteurs comme classe d'équivalence des bipoints équipollents (façon 4e de l'époque math modernes), mais les IPR risquent de te jeter des cailloux...

Le plus efficace à mon humble avis reste encore le triptyque direction/sens/longueur et d'embrayer sur la propriété du parallélogramme.
On peut aussi faire le lien avec les vecteurs utilisés en physique (au fait, les lycéens utilisent-il encore les vecteurs en physique ? un grand doute m'habite).

La machine à remonter le temps
Allons, reviens sur terre ! Les bipoints équipollents, j'ai connu ça en 4e fin des années 70 mais c'est fini depuis belle lurette (avec les relations d'équivalence et plus d'autres choses).

On a connu ensuite la définition avec direction, sens et longueur, que je continue à utiliser car je ne sais pas faire autrement

Depuis quelques années, on définit les vecteurs par une translation (et une translation par un vecteur ?), mais on ne sait pas ce qu'est une transformation, mais ce n'est pas grave. J'ai essayé de discuter avec des collègues pour sortir de cette tautologie, mais je n'ai toujours pas compris comment négocier ce bourbier logique devant une classe, donc, je suis resté coincé à la fin du 20e siècle sur ce chapitre...

Rapidement, on place le tout dans un repère et plus personne ne sait faire le moindre calcule vectoriel intéressant...

J'ai exactement le même problème que leskhal pour définir les vecteurs. Je trouve "malhonnête" pour l'élève de confondre vecteur et translation mais bon... :|

Y'a également un petit détail qui me chiffonne :

+ Ils disent que les définitions "formelles" de fonctions décroissantes/ croissantes sont un objectif de fin d'année. Du coup on peut quand même donner la définition en début d'année ? Parce que j'ai peur que si je ne fait que du "visuel" jusqu'en fin d'année ça risque de mélanger un peu les élèves surtout lorsqu'on parlera de tableau de variations...

Une autre remarque également : Est-ce que vous utilisez les symboles des quantificateurs ? Parce que j'ai pris l'habitude de les utiliser avec mes TS (toujours plus pratique pour définir les limites) mais je ne sais pas si c'est pertinent de les introduire en seconde, vous vous contentez seulement de phrases en français ?

Pour les quantificateurs, la réponse m'intéresse, puisque je serai en lycée à la rentrée.
Je ne sais pas si on peut les utiliser en seconde (sans leur demander de le faire bien sûr) ou si ça les perturberait. Il me semble que les familiariser doucement, pour ceux qui iront en S, ça peut être pas mal (en donnant la traduction et en leur laissant le choix de noter comme ils veulent)... Que font ceux qui ont des secondes depuis longtemps ?

Les quantificateurs ... à manier avec la plus extrême précaution (même en TS) sans quoi ils vont l'utiliser comme abréviation à tort et à travers (comme le symbole "appartient à" qu'on voit surgir au beau milieu d'une phrase écrite en français).
En seconde je ne les utilise pas du tout. En TS assez peu, j'ai bien d'autres priorités...

Je n'utilise jamais de quantificateur au lycée, sauf avec les groupes de spé en TS, si je sens qu'ils sont capables de les utiliser correctement.

On a déjà un mal fou à faire comprendre à la majorité des élèves d'une classe de TS ce qu'est une hypothèse et la conclusion d'un théorème, alors les quantificateurs, c'est dans les rêves !! En tout cas, je m'y refuse et je sanctionne leur (mauvaise) utilisation dans les copies pour ceux qui croient avoir l'habitude de les utiliser, comme beaucoup de mes collègues leur font croire...
Je fais des grandes phrases, j'écris la définition des limites de plusieurs façons différentes, dont une avec les quantificateurs, pour expliquer à ceux qui peuvent comprendre comment ça marche, mais j'en déconseille l'utilisation.

À la rigueur, le quantificateur universel est compris, mais le quantificateur existentiel est très difficile à imposer, même en spé, pour faire écrire la divisibilité par exemple.

Et certains collègues ne facilitent pas la tâche (certains écrivent "f(x)=... pour tout x réel" ce qui est un non sens logique, le quantificateur doit précéder la définition)

bonjour
Même si comme beaucoup j'utilise  direction, sens et longueur, je ne suis pas en paix avec moi même car cela présuppose la possibilité de définir une longueur, donc d'être dans le cadre de la géométrie euclidienne.
Pour définir un vecteur , un espace affine doit être suffisant.

Balthazaard a écrit:bonjour
Même si comme beaucoup j'utilise  direction, sens et longueur, je ne suis pas en paix avec moi même car cela présuppose la possibilité de définir une longueur, donc d'être dans le cadre de la géométrie euclidienne.
Pour définir un vecteur , un espace affine doit être suffisant.

Le théorème de Thalès (légèrement remanié) peut aussi se démontrer dans un espace affine. Je ne suis pas du tout convaincu que cela améliore la compréhension à ce niveau d'étude.
La notion de norme permet de faire un lien complet avec la physique/SI.

Pour les quantificateurs, je les utilise tout au long de la seconde, mais sans le symbole, "en toutes lettres". j'introduis les symboles en début de 1ère. Introduire les symboles trop tôt peut nous donner des élèves qui les utiliseront comme abréviations courantes. à ma dernière inspection, l'inspecteur m'avait dit de ne pas focaliser sur le symbole, mais sur l'aspect raisonnement (ça paraît évident mais...), et qu'il faut donc commencer par ça.

Pour les vecteurs, je fais dans cet ordre:

Définition 1 : Soient A et B deux points du plan. Lorsque, à tout point M, on associe l’unique point M’ tel que les segments [AM’] et [BM] ont le même milieu, on dit que M’ est l’image de M par la translation qui transforme A en B.
Définition 2 : La translation qui au point A associe le point B est appelée translation de vecteur (AB) ⃗.
Illustration graphique (en mettant en valeur le parallélogramme, éventuellement aplati- 2 cas).
Définition 3 : Le vecteur (AB) ⃗ est caractérisé par :
sa direction : la droite (AB) et toute droite parallèle à (AB)
son sens : de A vers B
sa longueur : la distance AB. On l’appelle la norme du vecteur (AB) ⃗.

Sur le plan théorique, avec l'axiomatique d'Euclide-Hilbert, il me semble que la bonne façon de définir les vecteurs est par la relation d'équipollence sur les bipoints. En revanche, pour l'expliquer aux élèves c'est plus délicat.

Ce qui me chiffonne avec la définition "physique" à coup de direction/sens/norme c'est que :
1) la "direction" est une notion vectorielle, ce qui impose de dire que la direction du vecteur AB c'est l'ensemble des droites (segments ?) parallèles à (AB), autrement dit (à la relation d'équivalence près) c'est l'ensemble des vecteurs colinéaires à AB, et ça peut embêter les élèves ;
2) le "sens" est particulièrement difficile (impossible ?) à définir mathématiquement sans revenir aux bipoints : si on ne garde que le dessin, est-il possible d'avoir deux vecteurs non colinéaires de même sens ?

Avec la "définition" D/S/N on utilise la définition des vecteurs pour les redéfinir...

Bref, si je suis partisan de l'approche bipoint sur le plan théorique, j'ai du mal à trouver une définition appropriée à des élèves de seconde. Peut-être que les futurs élèves (post-réforme) seront plus à l'aise sur ce concept en ayant un peu étudié les translations en amont ?

La relation d'équipollence sur les bipoints fonctionne très bien théoriquement, c'est celle que j'ai connue en 4e et je n'en suis pas mort même si j'ai dû mettre quelques années à vraiment la comprendre, mais quelle importance ? Mais les relations d'équivalence ayant disparu, cela devient coton, surtout lorsque les espaces quotients ont aussi disparu jusqu'à bac + ?...
Il ne reste que les tautologies à étaler, et de moins en moins d'élèves pour des études scientifiques, qui peut leur en vouloir ?

Pour les vecteurs, la définition proposée par Carrie7 permet effectivement de contourner l'obstacle de la longueur, en passant par les translations et les parallélogrammes. Il me semble que c'était présenté ainsi en 3ème à mes débuts. N'empêche que pour les élèves, intuitivement, ils en reviendront forcément à direction-sens-longueur (et c'est ainsi qu'on me l'avait présenté autrefois... j'avais tiqué un peu sur l'idée de "sens" à l'époque). Et à leur âge c'est compréhensible, ils n'ont pas l'idée qu'il puisse exister des espace non euclidiens... donc ça ne me choque pas, et ça ne m'avait pas empêchée d'élargir ensuite ce concept à d'autres espaces en prépa.

Samuel DM a écrit:
2) le "sens" est particulièrement difficile (impossible ?) à définir mathématiquement sans revenir aux bipoints : si on ne garde que le dessin, est-il possible d'avoir deux vecteurs non colinéaires de même sens ?

(AB) parallèle à (CD) <=> vec AB et vec CD ont même direction.
Si même direction : ABCD quadrilatère non croisé <=> vec AB et vec CD ont des sens opposés.
Peu opérant en pratique.
En l'état actuel, le plus cohérent est de penser les vecteurs comme des différences de points.

Pat B a écrit:Pour les vecteurs, la définition proposée par Carrie7 permet effectivement de contourner l'obstacle de la longueur, en passant par les translations et les parallélogrammes. Il me semble que c'était présenté ainsi en 3ème à mes débuts. N'empêche que pour les élèves, intuitivement, ils en reviendront forcément à direction-sens-longueur (et c'est ainsi qu'on me l'avait présenté autrefois... j'avais tiqué un peu sur l'idée de "sens" à l'époque). Et à leur âge c'est compréhensible, ils n'ont pas l'idée qu'il puisse exister des espace non euclidiens... donc ça ne me choque pas, et ça ne m'avait pas empêchée d'élargir ensuite ce concept à d'autres espaces en prépa.

Oui bien sûr ils reviennent à direction/sens/longueur, mais ça en me paraît pas gênant.
Il me semble (j'espère ne pas me tromper!) que ma proposition est celle qui colle le plus au BO. Donc en cas d'inspection tout va bien.
Par ailleurs, ayant passé mon bac en 97 je ne comprends pas grand chose à vos histoires de bipoints, mais je ne vois vraiment pas l'intérêt d'envisager d'introduire les vecteurs comme ça. Les élèves vont être stupéfiés, et je ne pense pas que ça les fera progresser en maths.

Justement, je dis que si la méthode satisfait mathématiquement, elle n'est pas idéale pour l'expliquer aux petits

Je crois que ce sont surtout les abus de langage commis par la populace qui entretiennent la confusion entre direction et sens chez nos élèves.

Quand on dit par exemple : "je prends le métro en direction de porte d'Orléans", d'un point de vue purement géométrique, ce n'est pas correct.

Il faudrait dire : "Ma direction est verticale (la ligne 4 du métro parisien), et je l'emprunte dans le sens Nord-Sud".

Pour leur expliquer ce qu'est réellement une direction, je prends la longue règle (celle destinée au traçage sur tableau), je la tiens par le milieu et je la fais pivoter  : "voilà une direction, en voilà une autre" en commençant par prendre pour exemple deux cas particuliers, les directions horizontale et verticale, pour ensuite leur montrer toutes les directions intermédiaires. On pourra ensuite leur faire un exercice préparatoire où on leur montre plusieurs figures avec deux ou plusieurs droites (n>=2), tantôt toutes parallèles entre elles, tantôt l'une n'est pas parallèle aux deux autres, avec pour énoncé : "Ces droites ont-elles la même direction?" Ils apprennent ainsi que dire que deux ou plusieurs droites ont la même direction, c'est juste une autre façon de dire qu'elles sont toutes parallèles entre elles. Cela nous permet de leur donner la notion de direction sans avoir à parler de classe d'équivalence.

Mais je trouve que la définition d'une translation telle qu'elle est donnée dans les manuels de Seconde est complètement tirée par les cheveux : "La translation qui transforme A en B, transforme tout point M du plan en l'unique point M' tel que les segments [AM'] et [BM] aient le même milieu".  Tout l'art de rendre compliqué des choses qui pourraient être simples. Soyons sérieux, croyez-vous qu'un élève de Seconde va y capter quoi que ce soit à cette définition-là?

Pourquoi ne pas tout simplement leur donner une activité préparatoire où ils doivent construire la translatée d'une maison ? On commence par leur montrer l'image d'un premier point, puis celle d'un deuxième, puis celle d'un troisième. En principe ils n'ont pas de trop de difficulté à en déduire logiquement tous les autres points de la figure translatée. On trace ensuite des segments fléchés qui relient un point de la maison au point lui correspondant dans sa translatée et à partir de là, la notion de vecteur commence à s'esquisser dans leur esprit.

Un ancien programme pour le collège qui est peut-être encore utilisable ?
http://rdassonval.free.fr/flash/translation32.html

Carrie7 a écrit:Pour les vecteurs, je fais dans cet ordre:

Définition 1 : Soient A et B deux points du plan. Lorsque, à tout point M, on associe l’unique point M’ tel que les segments [AM’] et [BM] ont le même milieu, on dit que M’ est l’image de M par la translation qui transforme A en B.
Définition 2 : La translation qui au point A associe le point B est appelée translation de vecteur (AB) ⃗.
Illustration graphique (en mettant en valeur le parallélogramme, éventuellement aplati- 2 cas).
Définition 3 : Le vecteur (AB) ⃗ est caractérisé par :
sa direction : la droite (AB) et toute droite parallèle à (AB)
son sens : de A vers B
sa longueur : la distance AB. On l’appelle la norme du vecteur (AB) ⃗.

Je fais ça, en ajoutant (ce que tu fais peut-être) une activité de dessin avant. Une figure type maison qu'on "décale", parfois (ça dépend des classes) précédée d'une figure "téléphonée" : un élève est devant l'ordinateur et lui seul voit le dessin des deux maisons, il doit faire en sorte que ses camarades dessinent la figure sans erreur.
Pour la somme de vecteurs, je fais aussi des déplacements d'élèves en me servant des grands carreaux du sol.

Personnellement, je fais avec les bipoints... La plupart des élèves comprennent qu'il y a une infinité de bipoints équipollents à un même bipoint (à condition d'avoir directement explicité le lien avec le parallélogramme) sans parler de classes d'équivalence... Et au moins, on peut faire de vraies démonstrations ce qui devient de plus en plus rare au Lycée.