Démonstration des critères de divisibilité au cycle 4 ?

Bonjour,
les nouveaux programmes de cycle 4 (ici le pavé de 388 pages : http://www.education.gouv.fr/cid95812/au-bo-special-du-26-novembre-2015-programmes-d-enseignement-de-l-ecole-elementaire-et-du-college.html ) indiquent ceci à la page 375 du PDF (370 du document imprimé) :

Démontrer des critères de divisibilité (par exemple par 2, 3, 5 ou 10) ou la preuve par 9.

J'en déduis qu'il existe une démonstration accessible au cycle 4 où l'on ne parle ni de congruences, ni de modulo.
Pour la divisibilité par 2, cela me semble accessible, par 3, j'ai un doute.
Qui connaît une démonstration de ces critères et de la preuve par 9 accessible à un élève de cycle 4 ?
merci

Bonjour,

Pour le critère de divisibilité par 3.
On peut le prouver pour les nombres inférieurs à 10000 par exemple. (La généralisation à tous les nombres n'est pas le point intéressant de la preuve...).
N=m*1000+c*100+d*10+u
puis, utiliser le fait que m*1000=m*999+m et que c*100=c*99+c, etc.
Il faut aussi avoir travaillé au préalable sur la somme de deux multiples de 3.

De même, pour la preuve par 9, j'imagine qu'on peut s'en sortir en se limitant au produit de deux nombres inférieurs à 100, pour limiter un formalisme encombrant au cycle 4...

Je ne me suis pas encore présenté depuis le temps que je vous suis.
Lors de la dernière formation avec l'inspectrice ... Sur un exemple générique pour le critère de divisibilité par 9 ...
237 est-il divisible par 9 ?
237=2*100+3*10+7=2*99+2+3*9+9+7
99 et 9 sont divisibles par 9 donc 237 est divisible par 9 si 2+3+7 est divisible par 9.
Pour celui par 4, on compte le nombre de centaines ... 2 344=23*100+44 (et 100 étant divisible par 4, il ne reste plus qu'à regarder le nombre formé des deux derniers chiffres)

Bonjour,

ok pour la divisibilité mais pour la preuve par 9, on fait comment ?

davidavid a écrit:Je ne me suis pas encore présenté depuis le temps que je vous suis.
Lors de la dernière formation avec l'inspectrice ... Sur un exemple générique pour le critère de divisibilité par 9 ...
237 est-il divisible par 9 ?
237=2*100+3*10+7=2*99+2+3*9+9+7
99 et 9 sont divisibles par 9 donc 237 est divisible par 9 si 2+3+7 est divisible par 9.
Pour celui par 4, on compte le nombre de centaines ... 2 344=23*100+44 (et 100 étant divisible par 4, il ne reste plus qu'à regarder le nombre formé des deux derniers chiffres)

Oui enfin ceci n'est pas une démonstration du critère de divisibilité par 9 :/ Ca montre juste que 237 ne l'est pas.

t3- a écrit:Bonjour,

Pour le critère de divisibilité par 3.
On peut le prouver pour les nombres inférieurs à 10000 par exemple. (La généralisation à tous les nombres n'est pas le point intéressant de la preuve...).
N=m*1000+c*100+d*10+u
puis, utiliser le fait que m*1000=m*999+m et que c*100=c*99+c, etc.
Il faut aussi avoir travaillé au préalable sur la somme de deux multiples de 3.

De même, pour la preuve par 9, j'imagine qu'on peut s'en sortir en se limitant au produit de deux nombres inférieurs à 100, pour limiter un formalisme encombrant au cycle 4...

Oui, c'est une possibilité, il y a beaucoup de travail préalable pour rendre le raisonnement accessible à une majorité.

Connaissez-vous des activités préliminaires « plaisantes » pour motiver un élève lambda sur ce problème ?

Cela m'a l'air vraiment faisable, le donnait en devoir libre en 4 è il y a quelques années .
Pour le coup illustre bien le pouvoir de l'algèbre décrié dans les nouveaux programmes dans sa technicité.

pistor a écrit:Cela m'a l'air vraiment faisable, le donnait en devoir libre en 4 è il y a quelques années .
Pour le coup illustre bien le pouvoir de l'algèbre décrié dans les nouveaux programmes dans sa technicité.

Vous auriez gardé une copie du sujet ?

c'est dans l'idée de t3

J'ai tenté en classe entière de prouver le critère de divisibilité par 4 comme une application de la factorisation.
Ca aurait pu mieux se passer avec plus de temps de préparation.

D'ailleurs, même si ça fait très artificiel je me contenterai bien de présenter le critère de  9 en faisant du 10=9*1+1, 100=9*11+1, 1000=9*111+1; décomposer le nombre suivant les puissances de 10; distribuer; regrouper et conclure sur la divisibilité.
C'est faisable je pense, ça marche très bien avec 9 et ça se transmet pas mal sur 3 en plus ce qui peut expliquer le "3 ou 6 ou 9".

Edit; je ne suis pas clair!
grosso modo
abcd = a * 1000 + b*100 +c*10 +d
abcd = a*(9*111+1) + b * (9*11 +1) + c * (9+1) +d
abcd = 9 * (a*111 + b *11 +c ) + a + b + c +d
On termine en expliquant que le but est de factoriser par 9 ce qui est fait dans le premier terme et donc ne dépend plus que de ce qui le suit.  

Sinon, j'ai essayé (je dis bien essayé) de trouver un moyen d'amener le critère de 11 pour avoir une application avec la somme des relatifs mais je n'ai pas trouvé de parade même pour être compréhensible par ma meilleure 5ème. Si vous avez des idées, je suis preneur.

Ça reste quand même du calcul avec des congruences sans dire qu'on fait des congruences...

ben oui, comment faire autrement au collège?
mais ça reste un moyen de donner un autre sens à distribuer et factoriser

Dw4rF_Naheulbeuk a écrit:ben oui, comment faire autrement au collège?
mais ça reste un moyen de donner un autre sens à distribuer et factoriser

J'en sais rien Mais comme parfois on trouve des démos élégantes et originales, je pensais en trouver sur ce thème... Mais je n'ai rien à proposer de mieux que ce que tu as donné.

Je reste quand même dubitatif sur l'intérêt pour des ados en plein bête âge : les petits 6èmes trouveront le jeu et le défi intellectuel rigolo (savoir si un nombre est dans la table de 9), mais les 5èmes/4èmes diront que la machine leur donne la réponse bien assez vite et que du coup ça sert à rien de se prendre la tête.
J'avais réussi à en accrocher encore quelques uns en leur montrant les limites de la calculette avec de grands nombres, mais la plupart sortaient des "non mais genre c'est quand dans la vie qu'on utilise des nombres aussi grands ?"

William Foster a écrit:

Dw4rF_Naheulbeuk a écrit:ben oui, comment faire autrement au collège?
mais ça reste un moyen de donner un autre sens à distribuer et factoriser

J'en sais rien  Mais comme parfois on trouve des démos élégantes et originales, je pensais en trouver sur ce thème... Mais je n'ai rien à proposer de mieux que ce que tu as donné.  

dans le original et élégant: https://blogdemaths.wordpress.com/2013/02/02/un-critere-visuel-de-divisibilite-par-7/

et sinon, je maintiens que ça peut être un moyen pour faire un peu de technique algébrique (mais c'est mieux avec avec les exercices du type montrez que pair*pair -> pair, impair + impair -> pair, la somme de n entiers consécutifs est un multiple de n etc.) et si ça peut les familiariser avec des preuves ailleurs qu'en géométrie, je prends.

https://blogdemaths.wordpress.com/2013/02/02/un-critere-visuel-de-divisibilite-par-7/
est repris en FLASH :
http://rdassonval.free.fr/flash/divisionpar7.swf
Dans le même genre :
http://rdassonval.free.fr/flash/divisionpar11.swf

En formation disciplinaire, il a été dit à ma collègue que la 2e colonne du programme ce n'était que des exemples de ce qu'on peut faire mais en aucun cas une obligation de les faire.
D'ailleurs la "preuve par 9" n'est pas une preuve puisque ce n'est pas suffisant pour être sûr qu' on a bon. Donc quel intérêt d'en parler ? Il y a tellement de choses plus intéressantes à faire vu qu' il n'y a plus de hors-programme !

Bah, je fais la preuve par 9 depuis au moins 5 ans avec mes 6èmes, certains la font au primaire comme on le faisait encore il y a 30 ans. L'intérêt, c'est de savoir si on a faux (comme regarder le dernier chiffre, utiliser des ordres de grandeur...).