Besoin de votre expérience : comment expliquer cette technique de calcul ?

Bonjour,

J'ai expliqué en 3ème le cosinus aux élèves et à un moment, on doit passer de:
cos(50) = 2 / AT à AT = 2 / cos(50), et ils ne comprennent pas.

De ma très faible expérience, je trouve cette explication-là particulièrement difficile.

Je crois que cela commence en 4ème pour leur expliquer ça, mais je n'en suis pas sûr...

Comment vous y prendriez-vous donc dans mon cas, en 3ème (donc pas beaucoup de temps à y consacrer, mais en même temps c'est crucial de savoir ça!), avec des élèves qui avouent en majorité avoir la paresse de travailler chez eux (bref tout se joue en classe).

Merci!

Tu peux relier ça au produit en croix.

Tu peux transformer cos(50) en cos(50)/1 : le produit en croix est nettement plus visible

Ce que je ferais : je remplacerai le cosinus par x et leur montrerai plusieurs exemples puis leur ferait faire d'autre. Une fois l'inverse compris tu remet le cosinus en disant que c'est un nombre "comme un autre"

Je ne comprends pas. Tu leur balances comme ça direct la passage de l'un à l'autre?

cos(50) = 2 / AT

C'est une équation, dans laquelle l'inconnue est AT, qui ne peut pas être nul. Il faut dire qu'on isole l'inconnue.

On multiplie par AT des deux côtés:
AT × cos(50) = 2

cos(50) n'étant pas nul, on divise des deux côtés par cette valeur.
AT = 2 / cos(50)

Voilà.

Comme la plupart, je privilégie le produit en croix en rajoutant le dénominateur "caché", car le produit en croix est une technique vraiment appréciée par les élèves.

Ou alors comme Ycombe, mais il faut qu'ils soient à l'aise avec les équations, ça dépend à quel moment de l'année tu fais ça, mais la multiplicité des points de vue est de toute façon enrichissante pour les élèves à l'aise avec le calcul.

Merci,

Oui je crois que le produit en croix est le mieux (avec Thalès par exemple avant pour en reparler, parce que le produit en croix, c'est pas vraiment acquis en début de 3ème...).

@ycombe: oui, je l'ai fait comme ça, mais c'est galère, les bons comprennent, pour les autres, ça me semble vraiment trop dur d'où ma question.

Merci beaucoup!

Je préfère de loin la résolution de l'équation comme le propose ycombe. Le produit en croix est appliqué par les élèves de façon mécanique sans qu'ils comprennent ce qu'ils font. C'est ainsi que des élèves de terminale S ne savent toujours pas résoudre cette équation simplissime sans faire ce petit tableau horripilant. J'ai même eu des étudiants de math'sup, qui, en colle, appliquaient laborieusement cette horreur !

Oui mais là tu parles au nom des bons, moi je suis en collège, et je t'assure que le niveau est bas, et qu'expliquer la "bonne" chose, eh bien, par faible expérience, tu perds au moins la moitié de la classe et tu passes pour un charlot ("c'est trop compliqué monsieur, on comprend rien..."). Tu sais, déjà les fractions il y en a pas mal qui savent même pas que c'est une division, il ne faut pas se leurrer.

Au moins s'ils savent à partir de cos(50) = 2 /AT en déduire que AT = 2 / cos(50) avec un produit en croix, moi je serai content, c'est "déjà ça". Ca ne m'empêche pas d'expliquer la bonne chose aux bons, mais je complèterai avec cette explication pour les "largués" (2/3 de la classe).

S'ils ne savent pas qu'une fraction est une division, tu le leur dis et ils le savent, non ?
En tous cas je trouve salutaire que tu leur présentes aussi la résolution de l'équation, qui est au programme de collège.
Selon moi, s'ils savent résoudre le pb en appliquant le produit en croix mais pas par une autre méthode, c'est qu'ils appliquent aveuglément une recette, sans rien comprendre à ce qu'ils font. Entre autres inconvénients, quand on résout un problème par automatisme, on n'a pas les moyens de vérifier le résultat. J'ai une réaction un peu vive car il est vraiment hallucinant de constater à quel point des élèves de 17 à 20 ans se raccrochent encore à ce petit tableau. C'est un peu comme si des cyclistes adultes ne pouvaient pas se passer des petites roulettes qui leur ont permis de faire leurs premiers tours de roue.

Tu n'es pas prof pour poser une telle question (cf. 1ère ligne)?

Je te comprends bien, je suis naif, moi je ne connaissais même pas cette méthode du produit en croix, je vois bien à quoi elle peut conduire.
J'avais juste lu un bouquin en didactique ou le thésard expliquait que les maths ne devaient pas être de la magie, et l'exemple typique est passer de l'autre côté du égal le truc divisé, qui devient multiplié, on l'a dans la tête et on ne sait pas pourquoi.

Eh bien je vais te dire: j'ai fait prépa, ingé etc et je n'ai jamis su pourquoi cette règle marchait, jusqu'à la découvrir en bossant le capes!!

En fait, je n'"aime" pas ce produit en croix, ni magique ni vraiment clair. Alors maintenant j'hésite, je pourrais faire:
- la bonne méthode pour les bons
- pour les autres, leur demadner de retenir "le x de l'autre côté devient :, le - de l'autre côté devient +, car ce sont des opérations inverses" (au moins il y a une logique et il n'y a pas de mensonge: on applique une recette de cuisine).

C'est marrant j'ai l'impression qu'on en revient toujours à la même chose dans ce métier: comment s'en sortir avec les largués qui forment souvent la moitié des classes, et au mieux 1/3 disons (REP+).

NB/ le prof de maths que je suis devenu ne peut pas, vraiment pas, comprendre que j'ai réussi une école d'ingé (groupe A) sans avoir compris cette règle! c'est un exemple intéressant pour les tenants du "sens" partout.

34cruger a écrit:Tu n'es pas prof pour poser une telle question (cf. 1ère ligne)?

Je te comprends bien, je suis naif, moi je ne connaissais même pas cette méthode du produit en croix, je vois bien à quoi elle peut conduire.
J'avais juste lu un bouquin en didactique ou le thésard expliquait que les maths ne devaient pas être de la magie, et l'exemple typique est passer de l'autre côté du égal le truc divisé, qui devient multiplié, on l'a dans la tête et on ne sait pas pourquoi.

Eh bien je vais te dire: j'ai fait prépa, ingé etc et je n'ai jamis su pourquoi cette règle marchait, jusqu'à la découvrir en bossant le capes!!

En fait, je n'"aime" pas ce produit en croix, ni magique ni vraiment clair. Alors maintenant j'hésite, je pourrais faire:
- la bonne méthode pour les bons
- pour les autres, leur demadner de retenir "le x de l'autre côté devient :, le - de l'autre côté devient +, car ce sont des opérations inverses" (au moins il y a une logique et il n'y a pas de mensonge: on applique une recette de cuisine).

La première ligne de ce message semble en décalage avec la deuxième partie en gras... du moins il me semble...

Quant à la dernière partie, que dire??? Je suis aussi en REP+ et non non non NON!!!!!!! Pas ce genre de recette qui induisent ensuite mille autres erreurs dont on se serait bien passé!!!

Oui j'ai remarqué que les fractions étaient très difficiles à expliquer. En fait, je l'avoue: ce n'est pas clair pour moi, cette histoire de parts et de nombre, qui en plus peut devenir plus grand que 1, qui est un peu relié à un pourcentage (horrible objet mathématique), non, j'ai l'agrégation, mais franchement, devant un gamin de 5ème et dans ma tête, ce n'est pas clair!! (je veux dire: il n'y aura pas d'explications super claires, c'est un leurre) (sauf si je me dis qu'on a construit le plus petit sur-corps de l'anneau Z, oui là c'est clair).

PS: en parler à l'IG de maths?? je ne sais pas si tu es sérieuse, on peut parler de ce genre de trucs à l'IG de maths? la dernière fois que j'ai parlé à un formateur, il m'a dit: non, dans mes cours, les élèves ne font pas ça (je lui parlais d'un gamin exclu d'un établissement à qui j'avais remis un travail perso, individualisé, facile, et qui ne l'a jamais retourné de l'heure): ça m'a bien calmé. Je pense que c'est ici, avec des collègues francs et expérimentés, que la meilleure aide peut être apportée. Dans d'autres contextes, la hiérarchie à l'EN empêche une franchise de discours, une vraie confrontation à la réalité (c'est ma faible expérience encore une fois... mais avec l'intelligence on voit des choses rapidement   ).

@maellerp: Non, il n'y a pas de décalage; je n'ai jamais au collège, lycée, prépa, relié cette recette à un produit en croix, aussi incroyable que cela paraisse.

Comme je disais à mes élèves de première S : "La trigonométrie permet de séparer les gens bons en maths des gens qui savent se servir de la calculatrice".

- pour les autres, leur demadner de retenir "le x de l'autre côté devient :, le - de l'autre côté devient +, car ce sont des opérations inverses" (au moins il y a une logique et il n'y a pas de mensonge: on applique une recette de cuisine).

C'est une très mauvaise idée à mon avis car ça induit de grosses erreurs par la suite. Cette règle est toujours très ambiguë.
Par exemple :    
a) -3x = 1 équivaut à x = 1+3 est le genre de sottises sur lesquelles on tombe irrémédiablement avec cette explication foireuse (même dans le supérieur).
Ou pire, l'étudiant qui applique la règle à la perfection :
b) -3x = 1 équivaut à x = 1/(+3). Bon courage pour lui expliquer qu'il a mal compris la règle magique du passage de l'autre côté !
Et ce qui devient absurde avec cette règle, c'est que lorsque l'étudiant s'offusque de son erreur car il l'applique comme on la lui a enseignée, on ne peut pas lui expliquer autrement le problème qu'en rattachant cette règle aux opérations qu'il y a derrière (c'est-à-dire à la méthode citée par ycombe).

Pour mes collégiens, je privilégie le produit en croix au début car même si c'est une technique d'amateur, elle n'en est pas moins juste, elle a du sens et tout le monde la comprend. Et petit à petit, je fais intervenir les fameuses opérations qui permettent de transformer des égalités/équations...

Je leur dis :
"Imaginez un champ avec une barrière au milieu, et de chaque côté de la barrière il y a le même nombre de vaches. Que se passe-t-il si j'ajoute 3 vaches de chaque côté ? Si j'en enlève 8 de chaque côté ? Si je double le nombre de vaches de chaque côté ? Si j'en prends la moitié de chaque côté ? et ainsi de suite. Et pour finir, le clou du spectacle : que se passe-t-il si j'ajoute 5 vaches à gauche et que j'en ajoute 6 à droite ?"

Quand on parle de vaches ils savent toujours répondre ! Et après l'argument "c'est trop compliqué on comprend rien" ne fonctionne plus dans le cadre de tes égalités car tu peux leur dire que c'est comme avec les vaches !

Merci, bonne idée le coup des vaches, je prends!

Pour le reste, je le saurai pour l'année prochaine. Là si je leur explique le produit en croix, je suis sûr que les 3/4 ne savent pas ce que c'est, c'est trop tard (ça ne m'empêche pas de leur dire à un moment ceci dit), il faut que je finisse mon chapitre de trigo.

Moi il me semble que la trigo c'est une des rares fois au collège où tu dois apprendre une formule "incompréhensible", donc ça teste bien ceux qui apprennent et les autres.

@Ganash: je crois que c'est ça la pédagogie, trouver le bon exemple. Connaissez vous des références qui indiquent les "bons" exemples sur les sujets difficiles (nombres relatifs, fractions, etc etc)?

Ganash a écrit:

- pour les autres, leur demadner de retenir "le x de l'autre côté devient :, le - de l'autre côté devient +, car ce sont des opérations inverses" (au moins il y a une logique et il n'y a pas de mensonge: on applique une recette de cuisine).

C'est une très mauvaise idée à mon avis car ça induit de grosses erreurs par la suite. Cette règle est toujours très ambiguë.
Par exemple :    
a) -3x = 1 équivaut à x = 1+3 est le genre de sottises sur lesquelles on tombe irrémédiablement avec cette explication foireuse (même dans le supérieur).
Ou pire, l'étudiant qui applique la règle à la perfection :
b) -3x = 1 équivaut à x = 1/(+3). Bon courage pour lui expliquer qu'il a mal compris la règle magique du passage de l'autre côté !
Et ce qui devient absurde avec cette règle, c'est que lorsque l'étudiant s'offusque de son erreur car il l'applique comme on la lui a enseignée, on ne peut pas lui expliquer autrement le problème qu'en rattachant cette règle aux opérations qu'il y a derrière (c'est-à-dire à la méthode citée par ycombe).

Si je comprends bien la méthode de ycombe et que je m’efforce de l'expliquer de cette façon aux élèves (en 1S, ils ne maitrisent toujours pas ce genre de manipulations), depuis toujours, personnellement, j'applique une "recette magique" (car rapide et automatique) qui correspond à celle citée ci-dessus mais qui est incomplète :
le - de l'autre côté devient + pour les additions/soustractions
celui du dessus passe en dessous pour les multiplications/divisions

Après ça nécessite une certaine rigueur dans l'application de cette "recette".

En seconde, j'interdis purement et simplement l'expression "je passe de l'autre côté". Moyennant quoi ils tentent "je transpose" que je refuse aussi sec.
Deux situations possibles et deux seulement : ils ne se trompent quasiment pas, et je me fiche de savoir comment ils font ; ils se trompent une fois sur deux, on revient aux basiques, on additionne la même chose de chaque côté ou on multiplie par la même chose non nulle de chaque côté.

Quant au problème du produit en croix à toutes les sauces, là par contre, j'ai un peu baissé les bras. La différence étant qu'ils ne se trompent que rarement sur le produit en croix.

Enaeco a écrit:Si je comprends bien la méthode de ycombe et que je m’efforce de l'expliquer de cette façon aux élèves (en 1S, ils ne maitrisent toujours pas ce genre de manipulations), depuis toujours, personnellement, j'applique une "recette magique" (car rapide et automatique) qui correspond à celle citée ci-dessus mais qui est incomplète :
le - de l'autre côté devient + pour les additions/soustractions
celui du dessus passe en dessous pour les multiplications/divisions

Après ça nécessite une certaine rigueur dans l'application de cette "recette".

Quand je lis 35, je sais que c'est 5x7, de façon rapide et automatique. Ce n'est pas magique pour autant, c'est simplement que j'ai mémorisé cette décomposition. Il est normal (au sens où c'est ainsi que nous fonctionnons) de faire appel à la mémoire plutôt qu'au raisonnement face à un problème déjà vu. La différence avec la magie (ou la foi) c'est que je sais que je pourrai recalculer 5x7 si nécessaire.
Un élève qui applique 50, 100, 200 fois la méthode d'Ycombe, dans des contextes variés et espacés dans le temps, saura appliquer la recette de façon rapide et automatique, et saura également qu'il y a un raisonnement derrière qu'il serait capable de retrouver.

Hélips a écrit:En seconde, j'interdis purement et simplement l'expression "je passe de l'autre côté". Moyennant quoi ils tentent "je transpose" que je refuse aussi sec.
Deux situations possibles et deux seulement : ils ne se trompent quasiment pas, et je me fiche de savoir comment ils font ; ils se trompent une fois sur deux, on revient aux basiques, on additionne la même chose de chaque côté ou on multiplie par la même chose non nulle de chaque côté.

Tout pareil.

Ganash a écrit:

Je leur dis :
"Imaginez un champ avec une barrière au milieu, et de chaque côté de la barrière il y a le même nombre de vaches. Que se passe-t-il si j'ajoute 3 vaches de chaque côté ? Si j'en enlève 8 de chaque côté ? Si je double le nombre de vaches de chaque côté ? Si j'en prends la moitié de chaque côté ? et ainsi de suite. Et pour finir, le clou du spectacle : que se passe-t-il si j'ajoute 5 vaches à gauche et que j'en ajoute 6 à droite ?"

J'ai du mal avec les exemple de type "balance". Car une fois que l'on passe à la multiplication avec des relatifs, l'exemple tombe à plat. Multiplier les vaches par -2, c'est assez compliqué ...

Bon après, c'est un avis personnel. La méthode magique qui marche tout le temps, j'aimerais la connaitre.

Ce n'est pas tant l'effet balance qui est important, c'est surtout de comprendre que si l'on fait une opération identique sur chaque membre d'une égalité, il est tout à fait naturel que les résultats restent égaux.
Et je crois sincèrement que cette évidence vient beaucoup plus vite si l'on aborde des cas concrets de ce type à l'oral dès le début.
On peut utiliser les longueurs pour raisonner sur les décimaux par exemple et ça reste tout aussi naturel.
La multiplication par un négatif n'est en soi pas vraiment un problème puisqu'ils seront tous d'accord pour admettre que multiplier des vaches par -2, ça n'a pas de sens mais que si jamais c'était possible, les résultats seraient bien entendu égaux (on aurait par exemple -16 vaches de chaque côté).
En plus ça les fait marrer...

Après il suffit de dire et répéter encore et encore et encore : "c'est ce qu'on voit depuis le début de l'année, si je fais la même chose à chaque membre d'une égalité, et bien les résultats sont ... ???"

"Égaux !!!" crient-ils tous en choeur (non je plaisante) !

On peut rêver...