Demande d'avis : Quod erat demonstrandum ou pas QED ?

En quatrième, dans le cadre du chapitre Introduction à la démonstration, je propose aux élèves des exercices de démonstrations très structurées. Et j'aime à trouver légitime de demander aux élèves de clore très formellement leurs démonstrations par l'usage de l'expression « Ce qu'il fallait démontrer ».

Exemple très rapide :

Soit un triangle ABC tel que (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
On appelle I le milieu de [AC].
La droite perpendiculaire à [AC] passant par I coupe (BC) au point R.

1. Démontrer que les droites (IR) et (AB) sont parallèles.

On sait que (AC) est perpendiculaire à (AB) et que (AC) est perpendiculaire à (IR).
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (IR) et (AB) sont parallèles. Ce qu'il fallait démontrer.

Reste que les textes (programmes, livres, etc) n'en disent absolument rien.
Et reste que le sigle CQFD est devenu connoté (suranné, voire fat).

Ainsi donc, j'hésite...

Que feriez-vous à ma place ? QED ou pas QED ?

Edit : correction de la coquille.

Je vote pour, ils auront au moins appris une phrase de latin

Tu n'as pas peur de les perdre davantage avec du latin?
Moi j'aime bien CQFD.

(et il y a une coquille dans ta démonstration dernière ligne)

Al a écrit:(et il y a une coquille dans ta démonstration dernière ligne)

Diable ! merci !

Thalia de G a écrit:Je vote pour, ils auront au moins appris une phrase de latin

J'adore le latin, mais je ne mettrais pas de QED, ni de i.e. (au collège).
J'entends déjà " le prof de maths il parle latin, je comprends rien", ou alors "je ne suis pas latiniste, je n'ai pas pu faire l'exercice". Toutes les excuses sont bonnes pour ne rien faire...
Je penche pour le "Ce qu'il fallait démontrer" en toutes lettres (j'aurais peur que le CQFD devienne PTDR ou TMTC )

Tinkerbell a écrit:J'adore le latin, mais je ne mettrais pas de QED, ni de i.e. (au collège).

J'adore utiliser id est, mais j'évite avec mes élèves.

Tinkerbell a écrit:J'entends déjà " le prof de maths il parle latin, je comprends rien", ou alors "je ne suis pas latiniste, je n'ai pas pu faire l'exercice". Toutes les excuses sont bonnes pour ne rien faire...
Je penche pour le "Ce qu'il fallait démontrer" en toutes lettres (j'aurais peur que le CQFD devienne PTDR ou TMTC )

Tu as raison, je crois que je vais choisir le "Ce qu'il fallait démontrer".

D'ailleurs je pense en parler à mes élèves, ça nous fera une pause culturelle

je vote pour CQFD!!

Tinkerbell a écrit:D'ailleurs je pense en parler à mes élèves, ça nous fera une pause culturelle

Citation :
« ὅπερ ἔδει δεῖξαι », EUCLIDE, Les Éléments.

Prononciation « hopér édeï deïxaï ».
En latin « quod erat demonstrandum ». Abréviation : QED.
En français « ce qu’il fallait démontrer ». Abréviation : CQFD.

Aux choix, les deux, sans problème. J'en ajoute un troisième: "eurêka" !

Au début plutôt, non ? :lol:

La "solution" est ici raisonnée. La joie arrive au terme de la démonstration. C'est cette dernière qui est inattaquable.

En effet.

Que ce chapitre est compliqué à mener !!!

Bon, je vais faire un petit encart "culturel" à l'occasion d'une petite activité d'analyse de démonstration, ce qui nous permettra de prendre quelques minutes pour en parler.

Je coderai sur les deux figures I milieu de [AC],

dans la 2ème démonstration: un chaînon est "incomplet",
On sait ainsi que JB = IA et que AI = IC.
Si deux nombres sont égaux à un même nombre
alors ces deux nombres sont égaux entre - eux,
Donc IC = JB.

Mais je ne comprends pas pourquoi tu démontres cela,
alors que cela se voit!

pk a écrit:Je coderai sur les deux figures I milieu de [AC]

En effet, merci beaucoup.

pk a écrit:dans la 2ème démonstration: un chaînon est "incomplet",
On sait ainsi que JB = IA et que AI = IC.
Si deux nombres sont égaux à un même nombre
alors ces deux nombres sont égaux entre - eux,
Donc IC = JB.

Je me pose la question de compléter ou pas ce chaînon. Le problème ici est toujours la part d'implicite (les élèves diraient évident) dans les démonstrations (ce n'est pas la seule dans cette démonstration. Il y a de l'implicite dans la construction du rectangle, et dans le fait que le quadrilatère soit non croisé, par exemple). Après tout, je ne demande jamais (presque) d'expliciter la propriété de transitivité de l'égalité, pourquoi le faire ici ? d'autre part, cela me permet de parler de ces fameux "chaînons incomplets" (très fréquents dans une "vraie" démonstration, après tout).
Mais oui, je me pose encore la question.

pk a écrit:Mais je ne comprends pas pourquoi tu démontres cela,
alors que cela se voit!

Ah ah ! :lol:
Certains élèves ont besoin que je l'écrive, au moins au début. Ils ne le voient pas, précisément. Si la conclusion d'un chaînon est "JB = IA" et si celle du suivant est "AI = IC = JB", alors ces élèves-là auront du mal à suivre.
Mais peut-être devrais-je enlever ce chaînon, pour provoquer leur réaction. Je vais y réfléchir.

Merci pour tes commentaires.

Après réflexion : oui, en codant la figure, il est vrai que cela se voit. Donc ce n'est plus nécessaire de le démontrer. Merci.

Parler de ces fameux "chaînons incomplets" à cette étape, c'est une bonne idée à mon avis.

Cela étant, au lycée, des élèves qui ont parfois du mal à démontrer l'égalité entre deux expressions littérales.

La plus ancienne stratégie qui s'avère alors méconnue est liée à l'implicite dont on parle (si a=c et b=c alors a=b). A mon avis, il vaut mieux qu'ils aient à l'écrire quelques fois chaque année pour la savoir.

Une autre stratégie est-elle encore apprise en 4ème (si a-b=0 alors a=b)?

Au terme de mes réflexions bien tardives, je ne toucherai en fait plus rien. La propriété dont je parle peut être faite à tout moment... J'en parlerai plus tard. Il vaut mieux faire comme ce que tu proposes!

pk a écrit:A mon avis, il vaut mieux qu'ils aient à l'écrire quelques fois chaque année pour la savoir.

C'est vrai.

pk a écrit:Une autre stratégie est-elle encore apprise en 4ème (si a-b=0 alors a=b)?

Oui (sous cette forme ou sous une autre (somme de deux nombres opposés)) :

Un exemple qui me vient (en 5ème) :

a + (-1) x a = 1 x a + (-1) x a = [1 + (-1)] x a = 0 x a = 0
donc (-1) x a est l'opposé de a.

Certaines démonstrations de la propriété de Pythagore demandent de démontrer que a²+b²-c²=0

pk a écrit:Au terme de mes réflexions bien tardives, je ne toucherai en fait plus rien. La propriété dont je parle peut être faite à tout moment... J'en parlerai plus tard. Il vaut mieux faire comme ce que tu proposes!

Merci pour ces conseils.
C'est un chapitre vraiment compliqué. Au point que nombre de collègue ne font pas (ils distillent dans les autres chapitres). Pour ma part, j'ai pris le parti d'y consacrer un chapitre, pour poser très clairement certaines choses.

Je trouve cela très intéressant. Bravo les profs de maths (et JPhMM en particulier) !

A me relire, je vais me coucher!