Un peu de logique

Un topic précédent relatif à l'argumentation évoquait le raisonnement par l'absurde.
Le raisonnement par l'absurde est souvent confondu avec la contraposée (ou modus tollens). Essayons de percevoir en quoi ils diffèrent.

Contraposée
Le modus tollens est un théorème qui dit que (A => B ) <=> (non B => non A).
Exemple : "Être une fourmi implique être un insecte" est équivalent à "ne pas être un insecte implique ne pas être une fourmi".

Démonstration du modus tollens :
Par définition de l'implication : (A => B) <=> (non A ou B)
Par double négation : <=> (non A ou non (non B))
Par commutativité de la disjonction <=> (non (non B) ou non A)
Par définition de l'implication : <=> (non B => non A)
CQFD.

Raisonnement par l'absurde
Le raisonnement par l’absurde (ou reductio ad absurdum) est plus compliqué. Pour démontrer une propriété, on montre que sa négation conduit à une contradiction (c'est-à-dire une absurdité).
En termes logiques : A <=> (non A => (B et non B))

Démonstration du reductio ad absurdum :
Par définition de l'implication : (non A => (B et non B)) <=> (non(non A)) ou (B et non B))
Par double négation : <=> (A ou (B et non B))
Par double négation : <=> (A ou (non(non B) et non B))
Par la loi de Morgan : <=> (A ou non ((non B) ou B))
Par tiers exclus : <=> (A ou non ((non A) ou A))
Par définition de l'implication : <=> (A ou non (A=>A))
Par définition de l'implication : <=> ((A=>A)=>A)
Par identité : <=> A
CQFD

PS : Je n'ai pas réussi à produire une démonstration plus simple, désolé. Il en existe peut-être une.

Salut JPhMM c'est très beau. On peut les démontrer en utilisant les tables logiques (Tables de Boole)
Table de la disjonction: (A et B) est vrai si A et B sont vrais tous les deux, faux dans les autres cas.
Table de la conjonction: (A ou B) est faux si A et B sont faux tous les deux, vrai dans les autres cas.
Table de l'implication: (A => B) est faux si A est vrai et B est faux, vrai tous les deux, faux dans les autres cas.
pour démontrer une équivalence on doit avoir la même table. Ce type de démonstration s’apparente à la démonstration par disjonction de cas.
Et tous ces raisonnements logiques se basent sur le principe (mathématique !!) du tiers exclu. On ne peut avoir A et non A .

La première démonstration mathématique par l'absurde apparaît dans les éléments d'Euclide pour démontrer qu'un triangle isocèle admet les angles à la base de même mesure.

D'autre part, modus tollens et reductio ad absurdum sont parfois confondus avec le contre-exemple.

Contre-exemple
Le raisonnement par contre-exemple utilise le théorème suivant :
(Il existe x tel que non A(x)) <=> non(pour tout x, A(x))

En langue vernaculaire : l'exception infirme la règle.
En langage mathématique : (∃x)(non A) <=> non((∀x)(A))

Rappel : la proposition non((∃x)(non A)) est notée, par définition (∀x)(A)

Démonstration du contre-exemple :
Par définition du quantificateur universel : non(∀x)(A) <=> non(non((∃x)(non A)))
Par double négation : <=> (∃x)(non A)

CQFD (c'est une démonstration très simple et très rapide )

Je crois que tu vas en désoler plus d'un(e).

zina a écrit: Salut JPhMM c'est très beau. On peut les démontrer en utilisant les tables logiques (Tables de Boole)
Table de la disjonction: (A et B) est vrai si A et B sont vrais tous les deux, faux dans les autres cas.
Table de la conjonction: (A ou B) est faux si A et B sont faux tous les deux, vrai dans les autres cas.
Table de l'implication: (A => B) est faux si A est vrai et B est faux, vrai tous les deux, faux dans les autres cas.
pour démontrer une équivalence on doit avoir la même table. Ce type de démonstration s’apparente à la démonstration par disjonction de cas.

Oui, en effet. Il est vrai que je m'étais posé pour contrainte de ne pas utiliser les tables logiques. Je trouve que la démonstration gagne en élégance sans ces tables. Mais il est vrai que c'est un jugement esthétique purement personnel.

zina a écrit: Et tous ces raisonnements logiques se basent sur le principe (mathématique !!) du tiers exclu. On ne peut avoir A et non A .

Il me semble que le tiers exclu et la double négation sont équivalents. Mais oui, tu as raison.

zina a écrit:La première démonstration mathématique par l'absurde apparaît dans les éléments d'Euclide pour démontrer qu'un triangle isocèle admet les angles à la base de même mesure.

Je ne savais pas. Merci.

Pierre_au_carré a écrit:Je crois que tu vas en désoler plus d'un(e).

Ce n'est pas le but.
Intuitivement, on a souvent tendance à imaginer que contraposée, raisonnement par l'absurde et contre-exemple relèvent de mêmes lois logiques. Je voulais simplement préciser que ce n'est pas vrai.

Moi je suis contente de lire ça ici !
Je suis retournée en TD à la fac la semaine dernière, j'étais aux anges
C'est beau les mathématiques !

JPhMM a écrit:Par la loi de Morgan : <=> (A ou non ((non B) ou B))
Par tiers exclus : <=> (A ou non ((non A) ou A))
Par définition de l'implication : <=> (A ou non (A=>A))
Par définition de l'implication : <=> ((A=>A)=>A)
Par identité : <=> A

Ce passage mérite une petite explication, il est à mon sens le plus difficile.
Comme le rappelle zina, ((non B) ou B) est le principe du tiers exclu. En d'autres termes ((non B) ou B) est toujours vrai. ((non A) ou A) aussi, bien sûr. Donc on peut substituer au premier le second.
De plus (A=>A) est l'identité (une forme de tautologie, si vous préférez), elle est aussi toujours vraie.
Mais si quelque chose de toujours vrai implique A, alors A est vrai.

(J'ai "simplifié" mon explication à dessein).

Tinkerbell a écrit:Moi je suis contente de lire ça ici !
Je suis retournée en TD à la fac la semaine dernière, j'étais aux anges
C'est beau les mathématiques !

Moi je suis contente qu'on parle de mathématiques. La majorité des discutions pédagogiques sur ce forum concernent le français où je ne comprend pas grand chose hélas. Je n'ai pas enseigné depuis 6 mois et les mathématiques me manquent.

zina a écrit:Moi je suis contente qu'on parle de mathématiques. La majorité des discutions pédagogiques sur ce forum concernent le français où je ne comprend pas grand chose hélas. Je n'ai pas enseigné depuis 6 mois et les mathématiques me manquent.

Que fais-tu en ce moment ?

Je suis en congé de maternité après une grossesse pathologique. Je reprend bientôt mais je ne sais pas encore où !!

Sans être méchant ce ne sont pas des mathématiques mais de la logique... qui fait partie de la philosophie si je ne m'abuse. Après certains logicien n'ont que des connaissances limitées en logique mathématiques, ce qui est fort dommage.

Avatar des Abysses a écrit:Sans être méchant ce ne sont pas des mathématiques mais de la logique... qui fait partie de la philosophie si je ne m'abuse. Après certains logicien n'ont que des connaissances limitées en logique mathématiques, ce qui est fort dommage.

Méchant ???

Sinon, c'est un peu plus compliqué que ça. Dès l'origine la logique est à cheval sur plusieurs disciplines.
A la fin du XIXème siècle, la formalisation du propos mathématique a donné naissance à la logique formelle, ou logique mathématique (Boole, Hilbert, Gödel...).

Bien sûr, la logique philosophique est, il est vrai, à l'occasion rencontrée par la logique formelle, mais elles ne portent pas sur les mêmes objets. D'autre part, certaines logiques (lambda calcul, théorie des catégories, logiques floues, théorie des langages etc) sont peu disponibles sans quelque culture mathématique avancée.
Un seul exemple : comment réussir à comprendre le vieux principe d'incertitude de Gödel sans quelque bagage mathématique ??? (principe dont la démonstration est purement mathématique, d'ailleurs).

Actuellement, à part la philosophie analytique anglo-saxone (issue de la logique mathématique par quelques odieux philosophes mathématiciens britanniques), les résultats de la logique contemporaine sont d'abord le fait de logiciens informaticiens, de logiciens mathématiciens, et de logiciens linguistes.

J'ai un amis qui voulait faire un master 2 de logique, mais était très déçu de l'orientation possible proposée dans notre cher ville rose( pas de logique mathématiques). Il faut donc qu'il s'expatrie vers paris.

Avatar des Abysses a écrit:J'ai un amis qui voulait faire un master 2 de logique, mais était très déçu de l'orientation possible proposée dans notre cher ville rose( pas de logique mathématiques). Il faut donc qu'il s'expatrie vers paris.

Au pire, il peut passer l'agrégation de grammaire...

Avatar des Abysses a écrit:J'ai un amis qui voulait faire un master 2 de logique, mais était très déçu de l'orientation possible proposée dans notre cher ville rose( pas de logique mathématiques). Il faut donc qu'il s'expatrie vers paris.

Ce ne fut pas toujours le cas.

Bien que diplômé de Paul Sabatier Toulouse III j'ai eu pour directrice de mémoire la remarquable Jacqueline Boniface qui était alors à l'Université du Mirail. Elle est aujourd'hui à Nice.

http://portail.unice.fr/jahia/page4319.html

JPhMM a écrit:

zina a écrit: Et tous ces raisonnements logiques se basent sur le principe (mathématique !!) du tiers exclu. On ne peut avoir A et non A .

Il me semble que le tiers exclu et la double négation sont équivalents. Mais oui, tu as raison.

Essayons de démontrer cette équivalence.

Le tiers exclu est équivalent à la double négation
Tiers exclu : ((non A) ou A)
Double négation : ((non(non A)) <=> A)

Il s'agit donc de démontrer ((non(non A)) <=> A) <=> ((non A) ou A)

Démonstration :
Par définition de l'équivalence : ((non(non A)) <=> A) <=> (((non(non A)) => A) et (A => (non(non A)))
Par définition de l'implication (x2) : <=> ((non(non(non A)) ou A) et ((non A) ou (non(non A))))
Par définition de la double négation (x2) : <=> ((non A) ou A) et ((non A) ou A))
Par idempotence de la conjonction : <=> ((non A) ou A)
CQFD.

Juste pour dire que je n'ai pas réussi à dépasser l'exemple des fourmis... Je ressors sans bruit pour cuver ma honte...

Mélu a écrit:Juste pour dire que je n'ai pas réussi à dépasser l'exemple des fourmis... Je ressors sans bruit pour cuver ma honte...

Aucune raison d'avoir honte.

Je ne peux pas lire le latin.
Tu ne peux pas lire la logique formelle.

La barrière de la langue est aussi efficiente en langage formel. Si tu n'as pas appris ce langage, tu ne peux pas le lire. Simple question d'apprentissage.

JPhMM a écrit:
Le tiers exclu est équivalent à la double négation
Tiers exclu : ((non A) ou A)
Double négation : ((non(non A)) <=> A)

Il s'agit donc de démontrer ((non(non A)) <=> A) <=> ((non A) ou A)

Comme avec une langue étrangère, si je "traduis", tu comprends sans mal.

Ainsi :
Exemple de tiers exclu : "être une fourmi ou ne pas être une fourmi" est une assertion toujours vraie (en clair : on est une fourmi, ou on n'est pas une fourmi. Il n'y a pas de tiers. Attention cependant, le "ou" logique n'est pas exclusif, donc A ou B signifie qu'on a soit A, soit B, soit les deux)..................... to be an ant or not to be an ant...
Exemple de double négation : "ne pas vérifier ne pas être une fourmi " est équivalent à "être une fourmi"

Il s'agissait donc de démontrer que ces deux principes sont équivalents (identiques, si tu préfères, c'est-à-dire logiquement ils disent strictement la même chose en des termes différents).

Je comprends beaucoup mieux avec des mots C'est fourmidable !

Bonsoir JPhMM

JPhMM a écrit:

Essayons de démontrer cette équivalence.

Le tiers exclu est équivalent à la double négation
Tiers exclu : ((non A) ou A)
Double négation : ((non(non A)) <=> A)

Il s'agit donc de démontrer ((non(non A)) <=> A) <=> ((non A) ou A)

Démonstration :
(1) Par définition de l'équivalence : ((non(non A)) <=> A) <=> (((non(non A)) => A) et (A => (non(non A)))
(2) Par définition de l'implication (x2) : <=> ((non(non(non A)) ou A) et ((non A) ou (non(non A))))
(3) Par définition de la double négation (x2) : <=> ((non A) ou A) et ((non A) ou A))
(4) Par idempotence de la conjonction : <=> ((non A) ou A)
CQFD.

Ta démonstration me semble douteuse. (Je me suis permis de numéroter en rouge les lignes de la démonstration)
je vois bien que tu montres que (non(non(A)<=>A) => (A ou non(A))
mais je ne vois pas la réciproque : en effet à la ligne (3) tu utilises la propriété non(non(non(A))<=>non(A).
À mon sens ça empêche l'équivalence.
Ceci étant je suis assez incompétent en logique.

Merci pour ta vigilance.
Tu as raison, en effet.

Si ((non(non A)) <=> A) est une proposition vraie, la démonstration est valide.
Sinon, j'avoue que je ne trouve pas de solution ce soir. Je vais continuer à chercher...

PS : une solution de facilité ne serait-elle pas de démontrer, par table logique, que cette proposition est de fait vraie ?

(Merci encore)