problème orthographe : se remettre sur pied/pieds ?

Petite question qui me turlupine : peut-on accepter le -s à pied dans l'expression suivante: se remettre sur pied?
Merci à ceux qui pourront m'éclairer.

TLF :

" Sur pied
Debout, levé, actif. Hélène passa sur pied cette nuit tout entière (Sandeau, M^lle de La Seiglière, 1848, p.324). On ne causa que des grandes salaisons d'hiver, qui allaient tenir tout le personnel de la charcuterie sur pied (Zola, Ventre Paris, 1873, p.682).
Guéri, rétabli. Bien soignée la maladie suivit son cours normal; c'est-à-dire que j'allais être bientôt remis sur pied (Gide, Si le grain, 1924, p.424).
♦ Mettre sur pied/mise sur pied"

Ok, donc on ne peut pas accepter: se remettre sur pieds. Je trouve cela difficile à expliquer aux élèves car quand on y pense on se remet sur ses pieds, on en a plusieurs.

J'ai trouvé cette explication sur un site:

Lorsque le nom pied n’est pas précédé du déterminant le, les, du ou des, il n’est pas facile de savoir s’il doit être écrit au singulier ou au pluriel. Voilà un petit aide-mémoire.
Les locutions suivantes s’écrivent au singulier :

• À pied : Elle préfère se rendre au travail à pied.
  
• À pied sec : Il est impossible de passer ce gué à pied sec.
  
• Au pied de la lettre : Tu prends ses paroles au pied de la lettre.
  
• Au pied levé : On l’a remplacé au pied levé.
  
• De pied ferme : Celui-là, je l’attends de pied ferme.
  
• Être à pied d’œuvre : À 8 heures, nous étions tous à pied d’œuvre.
  
• Mettre à pied : J’ai été mis à pied l’année dernière.
  
• Mettre pied à terre : Le 7 juillet, les navigateurs mirent pied à terre.
  
• Mettre sur pied : Ce projet sera mis sur pied dès le printemps.
  
• Perdre pied, lâcher pied : L’enfant a perdu pied et il est tombé.
  
• Sur pied : Ce vieillard est sur pied dès 5 heures.
  

Les locutions suivantes s’écrivent au pluriel :

• À pieds joints : L’enfant sautait à pieds joints sur le fauteuil.
  
• Avoir pieds et poings liés : Dans cette affaire, il a pieds et poings liés.
  
• Fouler aux pieds : Il foulait aux pieds toutes les convenances.
  
• Se jeter aux pieds de quelqu’un : Il s’est jeté aux pieds de sa mère.
  

Ces listes ne présentent que les expressions les plus courantes, elles ne sont pas exhaustives.