Interprétation d'une limite en probabiltié

Bonjour.

Dans de nombreux sujets de type "chaine de Markov" niveau terminale on introduit une suite arithmético-géométrique p_n (par exemple la probabilité que le joueur gagne une partie) et on obtient son terme général puis sa limite.

Et je suis toujours gêné quant à l'interprétation de cette limite ; que signifie-t-elle selon vous ? Dans le cas d'un jeu, imaginons qu'on trouve que la limite vaut 0,4. peut-on par exemple dire qu'en moyenne le joueur gagne environ 40% du temps ? Parce que j'ai envie de dire qu'après un grand nombre de parties la probabilité qu'il gagne la suivante est d'environ 0,4 mais c'est trop imprécis et probablement faux.

Bref je suis un peu dans le flou. Votre avis ?

Merci par avance.

Eligh a écrit:Bonjour.

Dans de nombreux sujets de type "chaine de Markov" niveau terminale on introduit une suite arithmético-géométrique p_n (par exemple la probabilité que le joueur gagne une partie) et on obtient son terme général puis sa limite.

Et je suis toujours gêné quant à l'interprétation de cette limite ; que signifie-t-elle selon vous ? Dans le cas d'un jeu, imaginons qu'on trouve que la limite vaut 0,4. peut-on par exemple dire qu'en moyenne le joueur gagne environ 40% du temps ? Parce que j'ai envie de dire qu'après un grand nombre de parties la probabilité qu'il gagne la suivante est d'environ 0,4 mais c'est trop imprécis et probablement faux.

Bref je suis un peu dans le flou. Votre avis ?

Merci par avance.

Ce qui me gène dans ta formulation est que si tu connais le résultat de la (n-1)ème partie, la probabilité de gagner la n-ième sous l'hypothèse de ce résultat n'est plus 0,4.

Je dirais plutôt : quelle que soit la situation de départ, la probabilité de gagner la n-ième partie tend vers 0,4 quand n tend vers l'infini...mais les interprétations de valeurs limites sont toujours délicates.

Eligh a écrit:Bonjour.

Dans de nombreux sujets de type "chaine de Markov" niveau terminale on introduit une suite arithmético-géométrique p_n (par exemple la probabilité que le joueur gagne une partie) et on obtient son terme général puis sa limite.

Et je suis toujours gêné quant à l'interprétation de cette limite ; que signifie-t-elle selon vous ? Dans le cas d'un jeu, imaginons qu'on trouve que la limite vaut 0,4. peut-on par exemple dire qu'en moyenne le joueur gagne environ 40% du temps ?

Oui, ça c'est vrai si on interprète "en moyenne" par "en espérance". Si la probabilité de gagner à la k-ème partie est p_k, alors l'espérance de la proportion de parties gagnées pendant les n premières est g_n = 1/n(p_1 + ... + p_n).

Donc par Césaro, si p_n tend vers 0,4, alors g_n aussi.

En fait on a un résultat plus fort (qui n'est pas impliqué par la seule convergence des p_n mais qui est toutefois vrai pour toute chaîne de Markov irréductible) de loi des grand nombres, qui dit qu'avec probabilité 1, la variable aléatoire G_n qui compte la proportion de parties gagnées sur les n premières, converge vers 0,4 (pas seulement en espérance, un joueur donné est certain de voir son G_n converger vers 0,4).

Parce que j'ai envie de dire qu'après un grand nombre de parties la probabilité qu'il gagne la suivante est d'environ 0,4 mais c'est trop imprécis et probablement faux.

Ça par contre c'est faux, la formulation "après un grand nombre de parties" sous entend une probabilité conditionnelle aux n premières parties.