Décalage à gauche ou à droite ?

Bonjour,

petit sondage ...

Pour multiplier 14,56 par 10, vous préférez quelle méthode :
1) on décale la virgule de 1 rang vers la droite
2) on décale les chiffres de 1 rang vers la gauche

Et on s'engage pour la réponse, on ne répond pas "on s'est fout, ça revient au même"

Le décalage des chiffres découle plus directement des définitions que le décalage de la virgule: par exemple, 3 unités multipliées par 10 deviennent 3 dizaines, ce qui se traduit par un décalage du 3 de la position des unités vers celle des dizaines.

Les chiffres vers la gauche.
En particulier c'est compatible avec l'utilisation d'un tableau de conversions.

Je préfère la méthode qui est la plus facile à appliquer pour moi, c'est le décalage de la virgule.

J'ai appris cela en primaire en partant des tableaux de conversion, quand on converti des dm en cm alors on multiplie le nombre par 10 et on décale d'un rang vers la droite. Dans un tableau de conversion les chiffres ne bougent pas c'est la virgule qui bouge.

Les tableaux de conversion étaient aussi utilisés pour introduire l'écriture décimale. Et même si c'est critiquable et bien j'ai une vision des nombres décimaux très solide et concrète.

D'ailleurs quand un élève est totalement perdu avec les décimaux, je repasse par la graduation de la règle. Il faut dire que j'ai des élèves en cinquième qui disent que la moitié de 7 n'existe pas... Par contre ils savent que la moitié de 7 cm c'est 3,5 cm... C'est logique car en calcul mental pure (sans les cm) ils posent la division dans leur tête et ils hésitent entre division euclidienne ou décimale... Alors qu'une grande maîtrise des conversions permet des techniques de calculs rapides où on ignore la virgule pour la remettre à la bonne place. Mais actuellement les élèves font souvent l'erreur suivante : 1,5 m = 1,50 cm on pourrait penser à une erreur d'inattention mais non le mal est plus profond ils ne se rendent pas compte que 1,5 = 1,50.

Mathador signale que le décalage des chiffres découlent plus directement des définitions que le décalage de la virgule. Oui, c'est vrai et donc on fait comment pour décaler les chiffres ??? On illustre avec une flèche par chiffre ou bien une seule flèche sur la virgule ? Pour illustrer j'ai vu une petite règle transparente où on voit les chiffres monter d'un rang, mais on peut aussi y voir la virgule se décaler dans l'autre sens.
Je pense vraiment qu'il faudrait utiliser la méthode la plus facile à retenir et à utiliser. Je pense à celle de la virgule car c'est ainsi que j'ai appris, mais je ne sais pas si c'est la plus facile.

Quand on manipule les notations scientifiques, il serait pourtant logique qu'on suivent la même méthode que la multiplication par 10 vue en primaire, mais mon problème en 4ème c'est qu'ils ne maîtrisent pas la multiplication ou division par 10, 100 ou 1000 avec les décimaux... Dans mon collège, on ne sait même plus si cela est vu en primaire ou pas ??? Certains élèves l'ont vu et d'autres pas...

Dans le même thème, j'aime bien faire un TP en 6ème sur la numération égyptienne qui est décimale mais additive et non positionnelle, et alors quand aborde la multiplication car 10 alors on ne peut pas ajouter des zéros, mais cela revient à remplacer les 4 batons unités par 4 symboles dizaines et etc... C'est très intéressant.

ben2510 a écrit:Les chiffres vers la gauche.
En particulier c'est compatible avec l'utilisation d'un tableau de conversions.

Tu es sûr ? Pour moi les chiffres ne bougent pas dans un tableau de consersion, non ?

Si tu multiplies par 10 ils bougent.
Bon ceci dit ce n'est plus un tableau de conversion utilisé pour des conversions, c'est vrai.

Personnellement je leur dis "on multiplie par 10 (ou 100 ou 0,1) donc le chiffre des unités deviens le chiffre des dizaines (ou des centaines, ou des dixièmes)".
Evidemment, ça implique qu'ils connaissent le tableau de numération...

C’est une bonne idée d’introduire très tôt l’espace vectoriel des longueurs, des poids ou des durées ainsi que les changements de bases usuels dans ces espaces vectoriels.
Entre décaler une virgule et ajouter des chiffres pour les changements de bases décimaux, je pense que le plus simple est le décalage de la virgule : si on ajoute des chiffres, on risque voir des 2,5*100 = 2,500... ce qui est certes cohérent, mais guère correct.
Le décalage a tout de même ses limites : comment décaler la virgule de deux chiffres vers la droite dans 2,5*100 quand il n’y a qu’un seul chiffre à droite de la virgule ?
Quoiqu’il en soit, cela dépend surtout du professeur : laissons le choisir l’explication avec laquelle il est à l’aise et gérer les problèmes liés (y compris la différence d’interprétation entre mathématiciens et physiciens : si 2,5 = 2,500 en Mathématiques, 2,500 est fondamentalement différent de 2,5 en Physique, car beaucoup plus précis...)

Je suis en Lycée Pro

Je préfère 1) on décale la virgule de 1 rang vers la droite

C'est plus visuel pour les élèves.

Serait-ce une analogie mal placée si l'on dit aux élèves que c'est le soleil qui se déplace dans le ciel au cours de la journée, parce que c'est plus visuel pour eux ?

Personnellement, je préfère dire aux élèves de décaler la virgule d'un rang en cherchant un résultat qui doit être plus grand que le nombre de départ. (quand je multiplie par 10). Et j'utilise la m^me méthode pour 100 1000 0,1 0,01... et pour la division.
Je trouve cette méthode plus "parlante" pour les élèves.

Point de vue d'une totale étrangère aux mathématiques : ce sont des méthodes "magiques", ces décalages, qui ne fonctionnent pas du tout ensuite quand on ne comprend pas ce qu'il y a derrière. Et comment vous faites quand il n'y a pas de virgule?

Je mets les exemples les plus variés possibles lors de la leçon afin qu'ils ne soient pas déstabilisés par ces cas particuliers : ayant déjà évoqué précédemment qu'un entier fait partie des décimaux (et que si vraiment ils veulent une virgule, ils écrivent 7,0 pour 7), il suffit donc de leur dire qu'en l'absence de virgule, on considère que la virgule est à la fin de l'écriture (à droite de la partie entière). Et s'il n'y a pas assez de chiffres, on complète avec des zéros. (puisque 2,5 est égal à 2,5000000... avec autant de zéros qu'on veut). ça ne les embête pas, bien au contraire.
Pour répondre à la question initiale, je fais comme Asclépios : et quand ils me demandent si c'est vers la droite ou la gauche, je réponds toujours en les questionnant en retour "à ton avis, si on veut diviser par 100, doit-on trouver un résultat plus grand ou plus petit ?".
Personnellement, je suis atterrée de voir comme ces calculs, si simples quand je les abordais en début de carrière (on ne faisait qu'un simple rappel rapide et on passait très vite aux exos) peut poser autant de problèmes de compréhension alors que c'est si mécanique. Certains ne retiennent absolument pas la méthode, on a beau leur répéter 50 fois que l'on décale de 3 rangs car il y a 3 zéros dans 1000 par exemple (avant ça, initialement, une explication sur tout ça évidemment), ça ne rentre pas, et certains persistent à faire 24 x 100 = 240 ou encore 3,25 x 100 = 32,5. (je passe évidemment sur les erreurs du type 32,5x10 = 32,50 ou encore 32,5x10=320,5)
D'une manière générale, je trouve qu'il y a beaucoup plus de blocages sur des choses très élémentaires pour lesquelles il n'y avait pas de problème avant (il y a une quinzaine d'années peut-être) sauf éventuellement pour un cas "lourd" qui était en décrochage total... Maintenant j'ai l'impression que tout est source de complications, je n'arrive même plus à anticiper les obstacles qui peuvent se présenter à eux tellement ça me semble tordu à posteriori, quand je vois les questions qu'ils se posent, même là où il n'y a quasiment pas de questions à se poser... Comme si toute situation pouvait être source de pièges, d'exceptions, et qu'ils n'avaient pas de références rassurantes sur la logique des choses...

Cléopatra2 a écrit:Point de vue d'une totale étrangère aux mathématiques : ce sont des méthodes "magiques", ces décalages, qui ne fonctionnent pas du tout ensuite quand on ne comprend pas ce qu'il y a derrière.

C'est tout l'inverse : c'est AVANT qu'on explique pourquoi on décale ainsi, en détaillant le principe. Mais ensuite, on résume en constatant que cela revient à décaler la virgule puisque toute la suite de chiffres reste la même.

Ben je te le dis, moi j'ai appris les bases des maths avec des techniques magiques telles que celle-là : on décale la virgule, on décale d'un rang pour les multiplications à deux chiffres, on ajoute un 0 quand on multiplie par 10, la retenue sans expliquer que c'était une dizaine etc. et je t'assure que je n'ai compris qu'adulte comment fonctionnait vraiment tout le système de numération, donc bien trop tard. Beaucoup de PE ne sont pas formés sur les maths, car ils ont un cursus littéraire, et certains continuent d'appliquer ce qu'ils ont appris parce que oui ça fonctionne.
Décaler la virgule me semble donc être un de ces procédés qui fonctionne sur le moment, l'élève aura juste à l'exercice, mais qui ne permet pas de comprendre le truc en fait. Je ne sais plus qui a parlé du soleil qui se déplace dans le ciel, et il a raison, c'est pas parce que c'est plus visuel que ça doit être utilisé.

ben2510 a écrit:Si tu multiplies par 10 ils bougent.
Bon ceci dit ce n'est plus un tableau de conversion utilisé pour des conversions, c'est vrai.

Oui en effet, à mon avis tu parles plutôt d'un tableau d'écriture décimale (..., dizaine, unité, dixième, ...)

C'est ce genre de tableau qui est représenté avec une languette qui fait bouger les chiffres pour illustrer la multiplication par 10, 100 ou 1000

Voici un exemple :

https://eugenedelacroix.arsene76.fr/matieres-enseignees/mathematiques/le-glisse-nombre-ou-comment-comprendre-la-multiplication-par-10--2939.htm

Cette vision est intéressante c'est certain, mais j'ai des doutes sur les risques de confusion avec les tableaux de conversions... où justement il ne faut surtout pas faire bouger les chiffres.

Je suis d'accord que lorsqu'on multiplie par 10 alors le chiffre des unités devient celui des dizaines et ainsi de suite. Mais en partant de cette évidence, il ne faut pas oublier que la virgule sépare la partie entière et la partie décimale et donc elle indique où se situe le chiffre des unités. Dire que le chiffre des dixièmes devient le chiffre des unités peut aussi se traduire par la virgule se déplace d'un rang vers la droite. Et quelque soit la méthode l'explication est la même chaque chiffre doit monter d'un rang. Pour moi ce n'est pas une astuce car c'est équivalent.

Mais dans les deux cas on peut très bien dire :

1/ Tous les chiffres bougent vers la gauche et c'est comme ça
2/ On décale la virgule de 1 rang vers la droite et c'est comme ça

Au collège, je n'ai pas encore vu un élève qui me parlait des chiffres qui bougent vers la gauche, pour une raison simple, malheureusement ils ne maîtrisent plus du tout l'écriture décimale, et il ne savent pas non plus qu'il faut bouger la virgule vers la droite pour eux c'est uniquement une histoire de zéro à ajouter et là, il y a du boulot !

Cléopatra, il y a la façon dont on enseigne, et il y a ce que l'élève en retient, ce n'est pas tout à fait la même chose.
Combien d'élèves me ressassent "non ça on l'a jamais vu avec monsieur Machin". Ils ne s'en souviennent plus, ça ne veut pas dire que ça n'a pas été fait.
Moi aussi avant de me poser la question de l'enseigner, j'avais en tête le "je décale la virgule" sans rechercher la source de ce procédé, je savais l'appliquer et ça me suffisait. On m'a peut-être dit d'où ça venait (ou peut-être pas, ma mémoire ne remonte pas si loin et si précis), l'essentiel est que ça m'a ensuite suffi pour faire ce genre de choses...
Je trouve qu'on cherche trop à tout expliquer à chaque instant, et surtout à faire croire aux élèves qu'ils ont les moyens de tout trouver par eux-mêmes, et qu'ils ont raison de remettre en doute quand ils n'ont pas compris alors qu'ils n'en ont juste pas les capacités, pour certains en tout cas, or ils pourraient admettre certaines choses en faisant confiance à leur professeur, et les appliquer assez facilement s'il n'y avait pas tous ce blocages... résultat : non seulement ils ne comprennent pas la subtilité du truc, mais en plus ils ne feront pas la suite, donc c'est presque raté d'avance pour le chapitre. Exemple avec Pythagore : certains ne comprennent pas pourquoi ça fonctionne ainsi (la plupart du temps c'est parce qu'ils étaient inattentifs et/ou trop passifs au moment où ça a été découvert et expliqué, parfois ça peut être parce que c'est trop dur pour eux de comprendre le pourquoi de la chose), en tous les cas il va falloir l'appliquer, mais ceux qui n'ont pas suivi pourquoi ça fonctionnait ont bien du mal à passer au-delà, à admettre que oui, ça fonctionne, et que oui, ils peuvent l'appliquer même si quelque chose leur a échappé à la source. C'est bien dommage d'en rester à ce stade et de se saborder tout un chapitre.
Apprendre l'esprit critique c'est bien, remettre en cause, se forger une opinion, etc... mais bon quand on est un enfant qui a encore plein de choses à découvrir, il est nécessaire d'avoir confiance en son enseignant et ne pas sans cesse tout remettre en questions... Si le décalage de virgule fonctionne et même si on n'a pas compris pourquoi ça fonctionne, est-ce vraiment si grave ? A nous de leur apprendre aussi à passer au-dessus de ça et à continuer à apprendre, quand bien même on ne saisit pas chaque détail de l'apprentissage, chaque nouvelle propriété...
Personnellement, je faisais beaucoup d'activités de découverte (sauce IUFM) en début de carrière (et l'habitude était tenace). Maintenant j'essaie de me forcer à zapper ça plus vite : je présente le truc rapidement (ex. : comment diviser par une fraction, j'explique d'où ça vient, mais je n'en fais pas des tonnes, je ne leur file plus une activité où ils doivent découvrir eux-mêmes et perdent le fil entre temps, ne sachant plus où on va ni d'où on part), et je vais très vite vers la leçon et les applications. On n'a tellement peu de temps qu'il me semble essentiel de réserver ce temps-là à s'entraîner pour réussir à appliquer, plutôt qu'à se prendre la tête à comprendre comment d'autres avant nous ont trouvé ces "recettes magiques" comme tu dis.
Bien entendu il n'est pas question de balancer des recettes sorties de nulle part, mais pour moi l'essentiel n'est pas là. On pourrait être ambitieux comme ça, aller vraiment au fond des choses, si tous les élèves qu'on récupérait en 6ème avaient les pré-requis de primaire, par exemple, ce qui est loin d'être le cas.

Complètement d’accord avec X.Y.U. J’ajouterai que la séance d’entraînement d’application bête et méchante et l’evaluation purement technique sans calculatrice qui s’en suit me paraissent indispensables et beaucoup plus utiles sur le long terme. On voit bien l’année suivante que les bases sont acquises (ou au pire en cours d’acquisition, ce qui est rattrapable) alors que si on passe son temps à faire des activités chronophage (parfois intéressantes je n’en disconviens pas), bien souvent ça passe au-dessus de la tête de 80 % de la classe et c’est au détriment des gammes qui permettent d’encrer la notion sur le long terme. Quant au prétendu ludique c’est le même problème et en réalité c’est une perte de temps. Je pense d’ailleurs qu’un bon programme scolaire devrait être quantifié plutôt que de laisser aux profs cette liberté dans les progressions. Cà permettrait sans doute d’uniformiser les pratiques et aux concepteurs de se rendre compte qu’il y en a trop. Quand je vois tout ce qu’on demande de faire, je vois bien qu’on oublie que les élèves n’ont pas que les maths à travailler et qu’il n’y a pas des dizaines d’heures hebdomadaires en classe. On relègue alors le boulot à la maison et on creuse encore plus les inégalités.

Je suis assez d'accord avec X.Y.U. et Badiste75. Mais pour revenir sur la question je ne crois pas à l'analogie Soleil-Terre.

Admettre cette analogie c'est admettre que la virgule ne bouge pas. Comme si l'écriture positionnelle n'était valable que dans un tableau de numération. Cela singifierait que quand on demande d'écrire mille, si jamais on écrit 100 et bien on demanderait alors à l'élève de gommer de décaler ces chiffres correctement pour obtenir 1000, comme on serait bien obligé de le faire dans un tableau.

Or, la puissance de l'écriture positionnelle par rapport à l'écriture additionnelle c'est justement cette double possibilité, on peut faire bouger la virgule ou les chiffres suivant ce qui nous semble le plus pratique.

Dire que ce sont les chiffres qui bougent c'est avoir uniquement la vision additionnelle, par exemple avec les chiffres égyptiens quand on multiplie par 10, et bien on change chaque symbole par le symbole "supérieur".

35 x 10 = 350

∩∩∩ IIIII fois 10 donne : @@@ ∩∩∩∩∩              (@ = 100 ; ∩ = 10 ; I = 1)

Sans virgule on serait obliger d'indiquer en indice la position de chaque chiffre pour notre écriture décimale :

exemple avec : 32,57 x 10 = 352,7

sans virgule on a : (...D : dizaine; U : unités; d : dixième ...)

D U d c                  
3 2 5 7

fois 10 donne :

C D U d
3 2 5 7

Et là on voit bien qu'il y a deux approches possibles on change les indices ou on change les chiffres, sachant que changer les indices revient au même, il faut changer 4 symboles. Mais avec la virgule, on a le choix entre changer de place tous les chiffres ou bien uniquement la virgule ce qui change tous les indices donc c'est logique de choisir la virgule.

On peut voir le même phénomène avec un repère de file d'attente qu'on voit dans des parcs d'attraction, on peut choisir de mettre le répère "délai d'attente 1 H" sur un emplacement fixe et alors le responsable devrait de temps en temps demander à toute la file d'avancer ou de reculer si jamais l'erreur est trop importante !!! Ou bien la pancarte est mobile et le responsable la positionne selon son estimation...

Pour moi, l'analogie Soleil-Terre est une sorte de dogme dont il faut se méfier, sinon si on veut soutenir cela mordicus, essayez de faire reculer mille personnes !

(Hors-sujet : J'ai d'ailleurs une anecdote à ce sujet : lors d'un grand rassemblement, il était prévu de distribuer des cartons de nourriture sur certains points de ravitaillement. Les cartons étaient dans un grand camion, et ils avaient besoin d'un minimum d'espace pour décharger les palettes, mais à chaque fois qu'une pallette était sortie la foule avançaient pour se servire, si bien que très rapidement il n'y a plus eu assez de place pour manoeuvrer sans danger. J'étais responsable d'un groupe, je suis aller voir les autres responsables pour que la foule recule, mais nous n'avons pas réussi à faire reculer tout le monde donc la distribution a été annulée et certains ont du attendre plusieurs heures pour manger !!! Et je ne parle pas des groupes qui s'étaient installer sur place pour manger qui ne voulaient pas bouger... et c'est fou comme des barrières sont inutiles pour une foule affamée !!!)

ben2510 a écrit:Si tu multiplies par 10 ils bougent.
Bon ceci dit ce n'est plus un tableau de conversion utilisé pour des conversions, c'est vrai.

Dans un tableau de conversion, si tu passes des mètres aux décimètres, c'est l'unité que tu changes et donc l'emplacement de la virgule.

Donc, des m aux dm ont multiplie par 10 => on déplace la virgule.

Par contre, si on fait un tableau avec C D U, en multipliant par 10 on passe de U à D, de D à C, etc. Là ce sont les chiffres que l'on déplace. Les unités (et donc la virgule) ne bougent pas.

+1 ycombe : et quand on découvre l'écriture décimale en se basant sur les mesures et les tableaux de conversion alors on a bien une virgule qui se déplace et il ne faut surtout pas déplacer les chiffres dans un tableau de conversion.

multiplier par 10 c'est comme convetir des dm en cm, et x100 c'est convertir des m en cm. Voilà c'est pas compliqué, on peut faire la même chose avec les € et les centimes et en plus c'est utile. Mais actuellement les élèves savent convertir des km en m avec un tableau mais sans tableau ils hésitent entre x 1000 et /1000 c'est fou. Notre système marche sur la tête.

Ici, une vidéo de Claire Lommé (prof de maths) sur la virgule...

"Non non non, la virgule ne bouge pas, ne virevolte pas, ne se décale pas. Elle n'est pas le nombre décimal et ne le définit pas."

PurpleBanner a écrit:Ici, une vidéo de Claire Lommé (prof de maths) sur la virgule...

"Non non non, la virgule ne bouge pas, ne virevolte pas, ne se décale pas. Elle n'est pas le nombre décimal et ne le définit pas."

Oui, elle part du constat que des élèves en 4ème n'ont toujours pas compris l'écriture décimale et je suis bien d'accord avec elle. Et ensuite, elle dit qu'il faut suivre les programmes pour mieux expliquer que ce sont les chiffres qui bougent et non la virgule. Et il faut passer par les saintes écritures c'est à dire les fractions décimales, oui je suis bien d'accord avec elle, mais au final, c'est ainsi que nos élèves ont appris et pourtant ça ne marche pas. Et bien il faut insister, ou bien ce sont les PE, qui n'ont pas insisté assez, car la virgule ne bouge pas, on devrait même utiliser que le tableau de numération et pas la virgule...
Pourtant comme exemple concret elle parle de 5 m = 500 cm c'est assez comique car justement dans les tableaux de conversion la virgule elle bouge, ah ! Vade rétro !!!

Il faut tout refabriquer historiquement mais il faut absolument oublié le côté pratique de la virgule car c'est incroyable quand elle bouge alors on multiplie ou divise  par 10 mais non, il ne faut pas le dire, il ne faut surtout pas oublier qu'avant les savants quand ils étaient en CM1, et bien ils n'utilisaient pas la virgule.

Quand elle dit que la partie décimale de 2,37 c'est 0,37 et pas 37, cela me dérange un peu car pour moi la partie décimale c'est "37 centièmes", dire que la partie décimale c'est "0 unité et 37 centièmes", je trouve que c'est absurde.

Un dernier truc qui m'énerve avec les fractions décimales c'est dès qu'on les manipule beaucoup et bien la plupart du temps on fait comme si les élèves savent additionner avec des dénominateurs différents car chacun sait que 3/10 + 7/100 = 37/100 et le comble c'est que pour l'expliquer il y a des bouquins qui passent par 0,3 + 0,07 = 0,37 !!!

A un moment, elle avoue que sans la virgule, on remarque que si on bouge le tableau alors cela revient au même, mais non, car le tableau ne bouge pas c'est ainsi, le tableau ne bouge pas voilà c'est tout. Un jour quelqu'un a dit le tableau ne bouge pas.
Bref, on pourrait faire la même explication avec la virgule qui bouge et voilà c'est tout, on pourrait ajouter que cela revient au même de bouger tous les chiffres mais entre bouger un symbole ou plein de chiffres et bien on comprend pourquoi on peut remercier celui qui a inventé la virgule et ceux qui ont inventé la numération positionnnelle, avec un rappel historique sur les numérations grecques et égyptiennes...

Avant pour démarer une voiture, on utilisait une manivelle, donc dans les auto-école on va apprendre à utiliser la manivelle avant de monter dans la voiture...