Maths/ SES suites arithmético-géométrique

Bonjour chers experts en maths,
Je suis admissible au Capes SES et vient de me prendre une sale note (5/20) à mon devoir de maths du CNED (malgré beaucoup de travail) alors que je pensais avoir correctement réussi...:/ Surtout que j'ai eu 13 au premier devoir (avec très peu d'efforts)! Du coup je prenais les maths du bon côté ce qui semble-t-il n'a pas porté ses fruits alors maintenant j'ai un peu peur de l'épreuve de maths...

quelqu'un peut-il m'aider à comprendre le raisonnement suivant? Merci beaucoup par avance...

Ici l'extrait de corrigé de l'exercice sur les suites arithmético-géométriques
2) On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn = un - 80.
a. Démontrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout entier n, vn+1 = un+1 − 80
= 0,97 un + 2,4 – 80
= 0,97 un −77,6
= 0,97 × (un − 80) *Comment est-on passé à cette ligne?? Où est passé le 2,4?
= 0,97 vn
Pour tout entier n, vn+1 = 0,97 vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,97.
D'autre part, v0 = u0 – 80 soit v0 = 90 – 80 =10
Ainsi, (vn) est une suite géométrique de raison 0,97 et de premier terme v0 =10

Le 2,4 a été ajouté au -80. Esuite on a "forcé" la factorisation par 0,97 donc le deuxième terme dans la parenthèse devient -77,6/0,97, c'est-à-dire -80.

La véritable question est "comment penser au 80?"

...en cherchant à "géométriser" la première suite par soustraction de 80=0,97×80+2,4 où 80 est une valeur fixe par ce processus arithmético-géométrique.

Bonjour
Tu ne le précises pas, mais j'imagine que

u(n+1)=0,97 u(n)+2,4 ?

vn+1 = un+1 − 80
= 0,97 un + 2,4 – 80

on a remplacé l'expression de u(n+1) par 0,97 u(n)+2.4

= 0,97 un + 2,4 – 80
= 0,97 un −77,6

on a fait le calcul 2.4-80=-77,6 voilà où est passé le 2.4

= 0,97 un −77,6
= 0,97 × (un − 80)

On a factorisé par 0,97, si pour vérifier, tu redistribues le 0,97 ça te donne

0,97*u(n)-0,97*80=0,97 u(n)-77,6 , ce qui est bien la ligne du dessus


si tu trouves ça plus "facile", tu peux plutôt, remplacer dans la ligne

= 0,97 un −77,6

l'expression de u(n) en fonction de v(n)

tu as v(n)=u(n)-80 donc u(n)=v(n)+80, expression que tu remplaces dans

0,97*u(n)-77,6=0,97*(v(n)+80)-77,6= 0,97 *v(n)+0,97*80-77,6=0,97*v(n)+77,6-77,6=0,97* v(n)


l'avantage de cette méthode est d'éviter la factorisation , l'inconvénient c'est qu'il faut exprimer u(n) en fonction de v(n) ce qui peut présenter une difficulté

est-ce que j'ai été claire?

Merci pour vos réponses!

Guermantes729 a écrit:

Oui en effet:
un+1 = 0,97 × un + 2,4.
2) On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn = un - 80.
a. Démontrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

J'ai pu refaire et comprendre le calcul. Le plus difficile était sans doute d'y penser en voyant des nombres comme 0,97 et 77,6 je n'ai pas eu le déclic que 77,6/0,97=80

Je vais continuer à m'entrainer... C'est difficile j'oublie très vite ce que j'apprend en maths.

Utopique a écrit: J'ai pu refaire et comprendre le calcul. Le plus difficile était sans doute d'y penser en voyant des nombres comme 0,97 et 77,6 je n'ai pas eu le déclic que 77,6/0,97=80.

Je doute que beaucoup de personnes aient ce réflexe ! C'est pour cela que je préfère la seconde méthode proposée par Guermentes, on est coincé dans le calcul, mais on sait qu'on voudrait obtenir une expression qui concerne la suite (v) et pas la suite (u), donc on remplace u(n) comme on peut, c'est-à-dire par v(n)+80, et tout se simplifie très bien.

après tu peux aussi faire du metajeu en te disant : "je suis à 0.97v(n) -77.6, mon coef est probablement 0.97. si j'essayais 0.97*80 pour voir" c'est pas très orthodoxe, mais parfois.

Utopique a écrit:Merci pour vos réponses!
Oui en effet:
un+1 = 0,97 × un + 2,4.
2) On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn = un - 80.
a. Démontrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

J'ai pu refaire et comprendre le calcul. Le plus difficile était sans doute d'y penser en voyant des nombres comme 0,97 et 77,6 je n'ai pas eu le déclic que 77,6/0,97=80

Je vais continuer à m'entrainer... C'est difficile j'oublie très vite ce que j'apprend en maths.

Il n'y a pas de déclic à avoir. Le seul facteur qui puisse laisser u_n seul est 0,97.

Ce genre d'exercice est excessivement classique et tombe à peu près tous les ans au bac ES,
ce qui a une conséquence intéressante pour toi : il y a beaucoup d'exemples dans les sujets de bac que tu trouveras sur https://www.apmep.fr/-Terminale-ES-327-sujets-tous- et les corrigés sont fournis avec.