Notation systèmes d'équations

Bonjour,

Selon vous, quel est l'intérêt de la notation système d'équations (en particulier en seconde mais la question vaut également en général) ?

Vous pouvez répondre d'un point de vue mathématiques et d'un point de vue pédagogique.

Merci

Matheod a écrit:Bonjour,

Selon vous, quel est l'intérêt de la notation système d'équations (en particulier en seconde mais la question vaut également en général) ?

Vous pouvez répondre d'un point de vue mathématiques et d'un point de vue mathématiques.

Merci

Tu as mis deux fois la même équation dans ton système.

Je ne comprends pas ta question ; l'accolade signifie "et", que dire d'autre ?

ben2510 a écrit:

Matheod a écrit:Bonjour,

Selon vous, quel est l'intérêt de la notation système d'équations (en particulier en seconde mais la question vaut également en général) ?

Vous pouvez répondre d'un point de vue mathématiques et d'un point de vue mathématiques.

Merci

Tu as mis deux fois la même équation dans ton système.

Je ne comprends pas ta question ; l'accolade signifie "et", que dire d'autre ?

Ooups, c'est corrigé

L'idée derrière est quels sont les avantages à faire résoudre des systèmes de deux équations en utilisant la notation système par rapport à la résolution sans cette notation.

Cette notation permet d'amener plus simplement les systèmes plus complexes à 3 ou 4 équations, par exemple.

Je dirais que le 1er intérêt, c'est de ne pas "perdre" une des équations en cours de route. Ensuite, c'est quand même bien pratique pour la résolution par combinaison, quand il faut additionner/soustraire membre à membre.
Mais bon, je suis peut-être à côté de la plaque car pas sûr de bien comprendre le sujet. Alors je retourne la question : quel est l'intérêt de ne pas utiliser cette notation ? Ecrire les deux équations sur une même ligne ?

Furby a écrit:Je dirais que le 1er intérêt, c'est de ne pas "perdre" une des équations en cours de route. Ensuite, c'est quand même bien pratique pour la résolution par combinaison, quand il faut additionner/soustraire membre à membre.
Mais bon, je suis peut-être à côté de la plaque car pas sûr de bien comprendre le sujet. Alors je retourne la question : quel est l'intérêt de ne pas utiliser cette notation ? Ecrire les deux équations sur une même ligne ?

De manière générale ça permet d'écrire moins de chose, et d'éviter certaines répétitions.

Par exemple quand on travaille avec des équations cartésiennes de droites, on a juste à écrire quelque chose du genre ax+b = mx+p ce qui est beaucoup moins lourd.

Aussi, quand on débute on a tendance à faire écrire beaucoup d'étape, ce qui fait qu'on réécrit beaucoup de fois quasiment la même chose en changeant une seule petite chose.

Poser clairement le problème ?
Formuler sous forme d'un système l'intersection de deux courbes algébriques ?

Structurer le raisonnement ?

En fait, ça me choquerait carrément d'avoir un système à résoudre sans que les équations soient écrites explicitement côte-à-côte avant de commencer la résolution (j'ai vu tellement d'élèves tourner en rond en essayant de "résoudre" une équation à deux inconnues !)

ben2510 a écrit:Poser clairement le problème ?
Formuler sous forme d'un système l'intersection de deux courbes algébriques ?

Structurer le raisonnement ?

En fait, ça me choquerait carrément d'avoir un système à résoudre sans que les équations soient écrites explicitement côte-à-côte avant de commencer la résolution

Oui voilà, on peut très bien écrire le système (justement pour pas faire l'erreur dont tu parles) puis faire la résolution sans.

ben2510 a écrit:(j'ai vu tellement d'élèves tourner en rond en essayant de "résoudre" une équation à deux inconnues !)

Ou une équation du second degré

Matheod a écrit:

Furby a écrit:Je dirais que le 1er intérêt, c'est de ne pas "perdre" une des équations en cours de route. Ensuite, c'est quand même bien pratique pour la résolution par combinaison, quand il faut additionner/soustraire membre à membre.
Mais bon, je suis peut-être à côté de la plaque car pas sûr de bien comprendre le sujet. Alors je retourne la question : quel est l'intérêt de ne pas utiliser cette notation ? Ecrire les deux équations sur une même ligne ?

De manière générale ça permet d'écrire moins de chose, et d'éviter certaines répétitions.

Par exemple quand on travaille avec des équations cartésiennes de droites, on a juste à écrire quelque chose du genre ax+b = mx+p ce qui est beaucoup moins lourd.

Aussi, quand on débute on a tendance à faire écrire beaucoup d'étape, ce qui fait qu'on réécrit beaucoup de fois quasiment la même chose en changeant une seule petite chose.

Personnellement, je commence par le système y=f(x) et y=g(x), puis je fais résoudre f(x)=g(x) ; ensuite on calcule y comme image de la valeur de x trouvée par une des deux fonctions (idéalement les deux, à titre de vérification). Bien sûr, à adapter dans le cas où il y a plusieurs solutions en x/ plusieurs points d'intersection.

Par contre on est embêté lorsque les courbes ne sont plus des courbes de fonctions (typiquement l'intersection de deux cercles).

Si on perd l'une des deux équations, on perd l'équivalence donc on est obligé de faire comme au collège : vérification de la validité de la ou des solutions.
Il me semble donc que l'intérêt d'introduire ça en seconde est se tenter de leur faire comprendre la subtilité.

N’est-ce pas par héritage du calcul matriciel ?

Fonctionner par systèmes équivalents, tout au long de la résolution, permet simplement de travailler par équivalence. je ne sais pas combien d'élèves de seconde sont capables de bien en comprendre la subtilité, cela dit. Mais fonctionner autrement imposerait, pour être rigoureux, de vérifier ensuite que la ou les solutions trouvées conviennent.
(cela dit, je leur présente les deux façons de faire, en essayant de leur expliquer la subtilité de l'équivalence, en leur disant que ceux qui poursuivront dans les maths auront besoin de bien comprendre ce genre de chose et d'être rigoureux -mais les autres pas vraiment)

En réalité c'est le contraire. S'il y a une chose qui restera ou qui devrait rester et qui importe pour tout le monde ce serait la logique et la rigueur, mais ici cela passe par les mathématiques.

Matheod a écrit:
L'idée derrière est quels sont les avantages à faire résoudre des systèmes de deux équations en utilisant la notation système par rapport à la résolution sans cette notation.

L'accolade a un sens précis: les inconnues ont, dans chacune des lignes, les mêmes valeurs (la même notation dénote la même inconnue et pas une inconnue différente à chaque fois).

L'usage est de placer les inconnues à gauche des signes =, toujours dans le même ordre, et les constantes à droites, ce qui facilite l'utilisation d'algorithmes comme le pivot de Gauss. Incidemment, cela prépare bien au calcul matriciel.

Le travail avec accolade permet aussi une écriture par équivalence dont on peut regretter la disparition dans les pratiques du collège.

Pour finir, travailler sans accolade c'est d'une part ne pas écrire les choses comme elles ont l'habitude d'être écrites en mathématiques et d'autre part prendre le risque d'écrire des choses qui sont mathématiquement incorrectes.

ycombe a écrit:

Matheod a écrit:
L'idée derrière est quels sont les avantages à faire résoudre des systèmes de deux équations en utilisant la notation système par rapport à la résolution sans cette notation.

L'accolade a un sens précis: les inconnues ont, dans chacune des lignes, les mêmes valeurs (la même notation dénote la même inconnue et pas une inconnue différente à chaque fois).

L'usage est de placer les inconnues à gauche des signes =, toujours dans le même ordre, et les constantes à droites, ce qui facilite l'utilisation d'algorithmes comme le pivot de Gauss. Incidemment, cela prépare bien au calcul matriciel.

Le travail avec accolade permet aussi une écriture par équivalence dont on peut regretter la disparition dans les pratiques du collège.

Pour finir, travailler sans accolade c'est d'une part ne pas écrire les choses comme elles ont l'habitude d'être écrites en mathématiques et d'autre part prendre le risque d'écrire des choses qui sont mathématiquement incorrectes.

Qui plus est on garde chaque inconnue dans sa colonne, dans l'ordre alphabétique (le cas échéant, l'alphabet grec avant le latin, comme dans 2*pi*r).

Je croyais que l'on choisissait le meilleur pivot pour la précision du calcul numérique. :lol:

Cf John Hubbard par exemple.

Ce n'est pas utile quand on travaille en calcul exact.
Le calcul approché est quand même très peu traité au lycée (encore une béance).

ben2510 a écrit:Ce n'est pas utile quand on travaille en calcul exact.
Le calcul approché est quand même très peu traité au lycée (encore une béance).

Ni au collège (cf. l'absence totale d'analyse de la 5^ème à la 2^nde). C'est tellement mieux de ne faire que du calcul formel et de pianoter sur la calculatrice au lieu de poser des racines carrées, de lire des tables de trigo et de réfléchir à ce que cela veut dire…

Matheod a écrit:
De manière générale ça permet d'écrire moins de chose, et d'éviter certaines répétitions.

Par exemple quand on travaille avec des équations cartésiennes de droites, on a juste à écrire quelque chose du genre ax+b = mx+p ce qui est beaucoup moins lourd.

Aussi, quand on débute on a tendance à faire écrire beaucoup d'étape, ce qui fait qu'on réécrit beaucoup de fois quasiment la même chose en changeant une seule petite chose.

Justement, le fait de garder le système tout au long du calcul devrait inciter à moins détailler les calculs (ce qui est le point très très faible des élèves de lycée : ils mettent une page à résoudre une seule équation du premier degré à une inconnue, et ce faisant ils perdent totalement de vue le but de leurs calculs). On a des copies avec des pages et des pages de calculs, plus ou moins justes, rarement vérifiés, et plus rarement encore, par contre, la rédaction d'un raisonnement.
Ne pas garder le système est tout à fait incorrect du point de vue du raisonnement, et de plus une fois qu'une des inconnues est trouvée, la recherche de l'autre est souvent oubliée, et de ce fait on a rarement un couple solution (dans le meilleur des cas on a les deux inconnues. Mais souvent on n'en a qu'une, même si on recherche les coordonnées d'un point). Sans parler des système à plus de deux équations ...

J'ai toujours eu le sentiment que l'interpolation linéaire sur une tebla de cosinus (Thalès, quoi) était une excellente préparation à la notion de dérivée.
Notion de dérivée qui n'est pas totalement anecdotique en sciences

Quand on faisait encore les systèmes au collège ( il y a 2 ans avant la dernière réforme ), j'utilisais une présentation hybride, au début avec les systèmes, puis avant d'additionner ou de faire une substitution avec un commentaire du style :
par substitution : on remplace x par "2y + 3" dans l'équation 4:   3*(2y+3) + 5 y = 10 et on résout cette équation toute seule ensuite on écrit : "on remplace y dans l'équation 1"...
par addition : on additionne membre à membre les équations 3 et 4 : 5x - 5x + 3y - 7y = 32 et on termine comme avec la méthode par substitution...

C'était moins long que de conserver le système du début à la fin. Les élèves se débrouillaient plutôt bien et au passage ils consolidaient la pratique des équations avec une seule inconnue.
On travaillait principalement la technique, ce qui n'est pas bien vu lors des inspections, mais franchement faire résoudre des systèmes sans technique, il y a de quoi se décourager, et avec de la technique ils y arrivaient assez bien. Bien entendu on évitait les réponses trop compliquées (plutôt des nombres entiers, ou des fractions simples voire des prix 4,55€...)  et le fait de pouvoir vérifier sa réponse était intéressant pour les élèves. J'aimais bien ce chapitre, et même si c'est très technique, les élèves avaient aussi l'impression d'aborder un niveau supérieur, où il était tout de même très compliqué de trouver les réponses par tâtonnement contrairement aux problèmes du 1er degré avec une inconnue qui se résolvent souvent sans équation.

Et quand on revenait aux équations à une inconnue ils étaient plus à l'aise car avec les systèmes on renforce la rigueur par la force des choses, en effet, c'est rageant de remplir une page de résolution pour trouver une mauvaise réponse...

EmmanuelB a écrit:où il était tout de même très compliqué de trouver les réponses par tâtonnement

Sauf avec une Roberval, bien sûr.

De plus, avec la résolution graphique, on préparait bien le lien entre équation de droite et fonction affine sans aborder la notion d'équation de droite mais les élèves étaient bien préparés pour découvrir cette notion en seconde, maintenant les profs de seconde s'arrachent les cheveux pour aborder les fonctions affines et les équations de droite...
Et on consolidait au passage la notion de fonction affine via les systèmes sur des cas simples où on pouvait lire graphiquement le couple solution.

Attends la rentrée 2020 : vous accueillerez les élèves qui n'ont connu que les années collège réformé. Joie.

Voltaire a écrit:Ne pas garder le système est tout à fait incorrect du point de vue du raisonnement, et de plus une fois qu'une des inconnues est trouvée, la recherche de l'autre est souvent oubliée, et de ce fait on a rarement un couple solution (dans le meilleur des cas on a les deux inconnues. Mais souvent on n'en a qu'une, même si on recherche les coordonnées d'un point). Sans parler des système à plus de deux équations ...

Cela dépend si considère les étapes du raisonnement comme des implications ou des équivalences. Mais si ce sont des implications, il faut vérifier les solutions trouvées, comme dans toute bonne analyse-synthèse…