Puzzle de Brousseau en 6e : comment donner du sens à la proportionnalité ?

Bonjour,

J'ai fait en groupes de trois ou quatre le puzzle de Brousseau dans une 6ème (où j'avais l'impression qu'ils allaient chercher après avoir rien compris au bout de 5s). J'ai dit:
- ce qui fait 3 cm devient 4,5 cm
- et à d'autres plus à l'aise : 4 -> 6,4 cm (NB: coef. 1.6).

Ils ont tenté des découpages, mais même avec mes aides, ça a été très dur d'aller au delà de:
"de 3 à 4,5 on ajoute 1,5, donc j'ajoute 1,5 à toutes les longueurs de cette figure".

En fait, je ne savais pas comment les aider, et je vous demande: Comment expliquer le caractère multiplicatif? Pire, comment expliquer qu'ajouter 1,5 partout n'est pas correct?
NB: quand j'ai fait une analogie en faisant un tableau de vente de légumes, un élève a parlé de produit en croix, mais c'était un réflexe, il n'y avait pas de sens (d'ailleurs c'est un "mauvais" élève qui a sorti ça, il ne sait pas le faire).

En sortant de là, je me suis dit: "ça y est, je comprends pourquoi les élèves de collège ne comprennent pas vraiment la proportionnalité, c'est parce que c'est intrinsèquement non naturel, quasiment impossible à expliquer profondément en 6ème".

Bref pouvez-vous m'aider pour qu'ils arrivent au produit en croix sans que je leur impose?

Merci.

Je trouve au contraire que la proportionnalité est très naturelle : si 3 ballons coûtent 8 € alors 6 ballons coûtent 16 € etc.

Pour le problème du puzzle, c'est effectivement plus compliqué car sans doute plus abstrait, moins relié au réel.

Déjà pour ceux qui ajoute 1,5 tu peux leur demander de construire la figure avec les nouvelles dimensions et ils verront bien que la nouvelle figure ne ressemble pas à celle de départ, elle sera toute biscornue.

Ensuite je commencerais sans doute par un coefficient multiplicateur plus simple que 1,5. Je commencerais par x2 en disant que je veux la même figure 2 fois plus grande et pour cela il faut doubler toutes les longueurs. Après x3 pour avoir la figure en 3 fois plus grand. Je pense que là le caractère multiplicateur est plus facile à voir.

Au fond je ne vois pas plus de difficultés entre 3-->4,5 et 4-->6,4.

Dans l'ordre de difficultés je ferais :

1) x2, x3 etc
2) x1,5, x1,6 (donc fois un nombre décimal)
3) pour les plus à l'aise, x7/3, x11/6 (donc fois un nombre non décimal)

Merci, tu me donnes une bonne idée pour expliquer: x2 ou x3 d'abord!

Intuitivement, je pense qu'une telle aide va marcher. On est dans le multiplicatif et sur le chemin de: "et vous, vous multipliez par combien?".

NB: Juste pour 3->4,5, il y a une subtilité, je leur ai dit: on n'ajoute pas 1,5, on ajoute le même de départ et sa moitié... et le groupe y est arrivé. Ok pas très satisfaisant mais mieux que rien.

Un avantage notable de l'activité est l'auto-validation : si on essaie de reconstituer le puzzle avec les pièces mal dimensionnées, il y a un problème (chevauchement ou trou...) !

Le puzzle de Brousseau est un exercice sur l'application de la proportionnalité aux problèmes d'agrandissement. Ce n'est pas un exercice de découverte de la proportionnalité et il me semble qu'il nécessite une bonne maîtrise de la proportionnalité dans les cas simples d'abord. La proportionnalité est en soi naturelle, son utilisation pour les échelles et les agrandissements ne l'est pas.

Je doute personnellement de l'efficacité de ce genre d'activité d'introduction.

Passer par x2 ou x3 me semble une erreur, le puzzle permettant en effet d'utiliser la linéarité dans ses deux aspects et pas seulement le multiplicatif.

Pour expliquer le caractère multiplicatif, on peut parler de changement d'unité. Si l'unité est trois fois plus petite, chaque longueur est triplée sans que le puzzle ne change, par exemple.

OK merci.
En fait, j'ai choisi de le faire en début d'une séquence de géométrie d'abord et avant tout parce que:
- on trace des parallèles et des perpendiculaires
- surtout, c'est un exercice de groupe qui me paraissait intéressant.
- accessoirement, cela met de la proportionnalité en "transversal" dans ma séquence.

Je suis content quand même d'avoir tenté l'expérience, même si, sûrement, elle est loin d'être parfaite, je le conçois (pour l'année prochaine).

NB: pour être sincère et expliquer mon approche didactique un peu légère, au-delà de leur intérêt didactique (ou pas!), je trouve que le réel intérêt de ces travaux de groupe est de rendre la classe active et d'avoir une vision "positive" du cours de maths (donc de faciliter les apprentissages ultérieurs) puisque c'est presque ça qu'on nous demande de faire, avant d'enseigner vraiment les maths (j'espère qu'on ne va pas m'étrangler, je dois faire hurler les didacticiens en disant ça, mais je ne le fais pas avec provocation).

Je suis loin d'être une spécialiste en maths   (tout au moins je suis assez nulle en la matière pour comprendre les difficultés des élèves  :lol: ) mais dans ma zone REP+ les enseignants (PE et profs) tentent des approches manipulatoires ... et il y a des pistes sur Eduscol dans les docs d'accompagnement,

EX :

puzzle et proportionalité
tu y trouveras peut-être des pistes de réponses à tes questions sur l'exploitation de la séance puzzle

Plus classique :
aborder les situations de proportionalité

ressources maths

C'est une blague le document eduscol ? "compare ces deux offres" dans l'exercice 3... quant à l'exercice 4, si on avait choisi 1,26 et 1,54 il aurait fallu conclure que la taille et l'âge sont proportionnels ?

C'est une erreur des plus classiques, comme quand on donne un tableau et qu'on demande si le tableau est de proportionnalité. C'est la situation qui amène la proportionnalité, pas les valeurs numériques. C'est la compréhension de la situation qui doit amener à penser qu'on peut utiliser la proportionnalité, et pas l'étude des nombres.

Je n'avais pas été jusqu'au bout et je n'ai pas été déçu...

"à 6 ans Armand chaussait du 30 et à 18 ans il chausse du 42. Pourquoi ne chausse-t-il pas du 90 ?" voyons voyons... parce que l'énoncé dit qu'il chausse du 42 ? Parce qu'il n'a pas assez grandi ? Parce que la formule exacte est en fait âge + 24 ? Parce qu'il n'existe pas de fabricant de chaussure qui met sur le marché la taille 90 ?

"essaie alors de définir la proportionnalité" bon courage...

bon j'l'avais dit je suis nulle en maths ... mais même là je comprends que ce n'est pas une situation de proportionnalité
Donc mieux vaut oublier ces supports en fait

Le problème est que fondamentalement, ce que l'on peut faire à partir d'un contexte physique est de détecter des situations de non-proportionnalité. Si tout ce dont on dispose est d'un ensemble de données portant sur deux grandeurs, sans bénéficier de la modélisation pouvant expliquer la façon dont les deux grandeurs sont liées, on ne peut jamais être sûr s'il y a proportionnalité ou non tant qu'un contre-exemple n'est pas sorti. Une mauvaise façon d'enseigner la proportionnalité, c'est de laisser croire qu'on peut trancher directement oui/non uniquement en fonction des données dans tous les cas (oui, je viens de réaliser que j'ai juste paraphrasé ycombe qui avait très bien exprimé cette idée !).

Mettons que l'étude des nombres peut amener éventuellement à penser qu'une situation est proportionnelle. Mais c'est l'étude de la situation, sa modélisation physique par exemple, qui doit conduire à comprendre que cette situation est vraiment proportionnelle. Pas les nombres eux-mêmes qui ne donnent qu'un indice sur la direction dans laquelle chercher comment comprendre ce qui se passe.

Par exemple, une réflexion trop rapide sur la chute (à peu près) libre conduirait à imaginer que la hauteur de chute est proportionnelle à la durée. Une expérience permettant de le vérifier montre aisément que non, ce n'est pas le cas (rendez-nous les mobiles traçants à coussin d'air). En cherchant à comprendre ce mouvement, si on s'intéresse à la vitesse, on se rend compte que la vitesse semble, elle, proportionnelle à la durée de la chute (à condition d'être nulle au départ). On peut alors chercher une explication physique (mouvement uniformément accéléré) qui montre que oui, il y a bien cette proportionnalité, et qui permet surtout de comprendre pourquoi. Les nombres ne tranchent pas la proportionnalité mais la physique, elle, peut le faire.

Demander sans information sur la situation si un tableau est de proportionnalité ou pas, c'est extraire l'outil mathématique de son contexte d'usage et vouloir couper les mathématiques de leur base physique. C'est ce qu'on a fait depuis 40 ans avec les programmes de mathématiques. Les vecteurs sont coupés des forces, la proportionnalité de son contexte d'utilisation, les dérivées de l'étude du mouvement,  mais on va parler d'interdisciplinarité parce que ça fait bien.

Deux grandeurs liées sont dites proportionnelles si la multiplication d'une valeur par un nombre dans une des deux grandeurs entraîne une multiplication de la valeur liée par le même nombre dans l'autre.

Cette définition demande beaucoup de pratique et d'exercices simples pour être maîtrisée. Pour moi, ce n'est qu'une fois cette définition maîtrisée qu'on peut s'intéresser aux tableaux, coefficients, additivité sur les colonnes et aspects linéaires. On avance trop vite, on donne des outils sans avoir ancré le concept et on le paye cher ensuite. Il n'est pas rare qu'un élève de lycée réponde à la question: "la situation est-elle proportionnelle?" par "Oui, puisque les nombres sont dans un tableau".

Oubliez Brousseau en 6e. Faites des exercices de proportionnalité simples, des calculs directs de 4e proportionnelles comme on les faisait au CM il y a 40 ans. C'est plus important.

(J'ai été long et pompeux   . Désolé).

Je m'aventure plus avant sur un terrain glissant ...
Ycombe sur l'exemple de la chute libre, vecteurs, forces, toussa, je suis complètement larguée

Je précise que je réfléchis plus particulièrement pour un niveau CM2
Certaines des pistes proposées me semblaient intéressantes pour faire comprendre cette notion de proportionnalité, en dehors justement des situations figées de "tableaux" de données ... EX la manipulation du puzzle, qui est une situation d'agrandissement qu'on utilise de façon courante, ou l'exemple des "recettes"; bon c'est vrai que âge et pointure, comme contre exemple est tiré par les cheveux

Quand on lie par exemple dans notre pratique Arts plastiques et Maths (agrandissement de figures, œuvres, dessins ... pas seulement pour l'interdisciplinarité, mais parce que c'est la possibilité de manipuler utile) cela me semble porteur justement par rapport à "la multiplication d'un nombre par une grandeur identique ", c'est sûrement un peu simpliste, mais cela me paraissait abordable pour des élèves.
La situation c'est bien d'agrandir en respectant les "proportions", et là les valeurs numériques permettent de le confirmer; situation / outil. On n'est pas complètement à côté de la plaque avec cette approche en élémentaire, si ? et théoriquement on devrait pouvoir éviter le raccourci tableau = proportionnalité ?

@ycombe: oui bien sûr, la proportionnalité, c'est la linéarité, ce que les hommes ont inventé pour gérer facilement des choses rationnelles (des prix de vente, des compréhensions de phénomènes...), et ça marche très bien au 1er ordre (je parle en physicien là). J'ai fini par dire l'année dernière aux élèves "écoutez, si vous multipliez par 2 la 1ère grandeur et que la 2ème grandeur est forcément multipliée par 2, alors c'est proportionnel, c'est exactement ça la proportionnalité, ce n'est pas plus que ça, vous n'avez pas besoin de tableau, de calculatrice, de produit en croix".

Attention, mon activité est surtout faite pour passer de la géométrie dessinée du primaire à la géométrie raisonnée du collège: passage au combien délicat. Il me semble que ça vaut plus le coup de réfléchir sur ça que de réfléchir sur la proportionnalité que les élèves ne comprennent pas au collège (donnez leur une recette pour 4: ils seront incapables de la passer à 10 personnes, y compris en 3ème) et ne comprendront jamais profondément avant le lycée (et encore, là je suis gentil)  car il y a des notions profondes derrière: linéarité et modélisation; ceci est mon avis qui apparemment n'est pas partagé, ce n'est pas grave, je ferais mon maximum quand même pour leur expliquer.
Tu ne peux t'en sortir au collège, avec le temps que tu as donc tu balances des résolutions "idiotes" à base de produit en croix (car le reste ne marche pas toujours ou plutôt, aie, il faut réfléchir). Et à mettre des produits en croix partout (Thalès...) car tu n'as pas le temps de leur donner du sens, de faire un truc vraiment propre (ceci dit, je n'ai pas abdiqué sur Thalès et persévère bêtement à ne pas parler de produit en croix, parce que j'ai trop de scrupules pour mes collègues du lycée qui vont voir des résolutions d'équations en produits en croix!).

Pour finir, je ne serais pas le premier à défendre ces activités en groupe! Je les fais car c'est à la mode et l'inspection demande de les faire. Je constate que les élèves sont contents d'être regroupés, ils sont plutôt plus actifs (la quantité d'erreur que l'on voit!) et ils vont passer leurs années collège dans un bon climat, la société sera rassurée et les politiques seront globalement contents. Mais il faut dire qu'on ne peut plus vraiment insister sur la notion d'effort et au lycée et dans leur vie active, seront-ils meilleurs, j'en doute fort. Mais cela regarde la société et les inspecteurs, pas moi dans mon quotidien...

ycombe a écrit:Mettons que l'étude des nombres peut amener éventuellement à penser qu'une situation est proportionnelle. Mais c'est l'étude de la situation, sa modélisation physique par exemple, qui doit conduire à comprendre que cette situation est vraiment proportionnelle. Pas les nombres eux-mêmes qui ne donnent qu'un indice sur la direction dans laquelle chercher comment comprendre ce qui se passe.

Par exemple, une réflexion trop rapide sur la chute (à peu près) libre conduirait à imaginer que la hauteur de chute est proportionnelle à la durée. Une expérience permettant de le vérifier montre aisément que non, ce n'est pas le cas (rendez-nous les mobiles traçants à coussin d'air). En cherchant à comprendre ce mouvement, si on s'intéresse à la vitesse, on se rend compte que la vitesse semble, elle, proportionnelle à la durée de la chute (à condition d'être nulle au départ). On peut alors chercher une explication physique (mouvement uniformément accéléré) qui montre que oui, il y a bien cette proportionnalité, et qui permet surtout de comprendre pourquoi. Les nombres ne tranchent pas la proportionnalité mais la physique, elle, peut le faire.

Demander sans information sur la situation si un tableau est de proportionnalité ou pas, c'est extraire l'outil mathématique de son contexte d'usage et vouloir couper les mathématiques de leur base physique. C'est ce qu'on a fait depuis 40 ans avec les programmes de mathématiques. Les vecteurs sont coupés des forces, la proportionnalité de son contexte d'utilisation, les dérivées de l'étude du mouvement,  mais on va parler d'interdisciplinarité parce que ça fait bien.

Deux grandeurs liées sont dites proportionnelles si la multiplication d'une valeur par un nombre dans une des deux grandeurs entraîne une multiplication de la valeur liée par le même nombre dans l'autre.

Cette définition demande beaucoup de pratique et d'exercices simples pour être maîtrisée. Pour moi, ce n'est qu'une fois cette définition maîtrisée qu'on peut s'intéresser aux tableaux, coefficients, additivité sur les colonnes et aspects linéaires. On avance trop vite, on donne des outils sans avoir ancré le concept et on le paye cher ensuite. Il n'est pas rare qu'un élève de lycée réponde à la question: "la situation est-elle proportionnelle?" par "Oui, puisque les nombres sont dans un tableau".

Oubliez Brousseau en 6e. Faites des exercices de proportionnalité simples, des calculs directs de 4e proportionnelles comme on les faisait au CM il y a 40 ans. C'est plus important.

(J'ai été long et pompeux   . Désolé).

D'accord avec Ycombe. D'ailleurs cette expression "donner du sens" me sort par les yeux. Les mathématiques ont du sens en elles-mêmes et en liaison avec les autres matières, dans le cadre d'une démarche scientifique globale, et il convient de le faire saisir par un enseignement bien mené; ce qui nous renvoie encore à la nécessité de programmes bien pensés pour qu'ils soient intellectuellement féconds pour les élèves. En premier lieu, c'est d'honnêteté intellectuelle dont nous avons besoin.

J'avais soulevé ce point à propos de la proportionnalité à une réunion pour le CSP.

Malaca a écrit:
Je précise que je réfléchis plus particulièrement pour un niveau CM2
Certaines des pistes proposées me semblaient intéressantes pour faire comprendre cette notion de proportionnalité, en dehors justement des situations figées de "tableaux" de données ... EX la manipulation du puzzle, qui est une situation d'agrandissement qu'on utilise de façon courante, ou l'exemple des "recettes"; bon c'est vrai que âge et pointure, comme contre exemple est tiré par les cheveux  

Oublie les tableaux. C'est une survivance des maths modernes qui a été introduite pour insister sur l'aspect linéaire de la relation de proportionnalité. On voulait que les gamins, le plus tôt possible, sachent ce qu'est une fonction linéaire.

La proportionnalité au primaire, il me semble qu'il faut d'abord que ça soit un raisonnement logique qu'on écrit avec des phrases et pas un outil magique qu'on utilise sans comprendre. Faire un retour à l'unité en dessinant un tableau et en mettant 1 dedans au bon endroit, c'est perdre la compréhension de la situation pour l'abstraire au profit d'un outil automatique.  L'abstraction trop rapide me semble nuisible, je ne pense pas qu'on puisse le faire directement.

Pour donner un exemple concret:
Pour faire des crèpes pour 6 personnes, on tuilise 250g de farine. Combien de farine pour 9 personnes?

Mauvaise solution, si on utilise ça dès le départ:


Pourquoi mauvaise solution? Parce qu'au lieu de réfléchir à la situation elle-même, les élèves vont se concentrer sur la tableau. Ils vont sortir du travail sur la proportionnalité pour elle-même pour se concentrer sur un outil et vont confondre les deux. On aura comme réflexe final proportionnalité=tableau. Ils vont (peut-être) y arriver, mais lorsqu'on abordera d'autres aspects, l'absence de connaissance des aspects conceptuels va les bloquer. On a une solution de facilité pour résoudre l'exercice, mais la résolution de ce genre d'exercice n'est pas le principal objectif de l'enseignement de la proportionnalité.

Une meilleure solution est (à mon avis) de demander des phrases qui donnent le raisonnement. Je veux savoir pour 9 personnes, je peux calculer pour 1 personne et ensuite multiplier par 9. Calculons donc pour 1 personne à partir de six.

Quand on lie par exemple dans notre pratique Arts plastiques et Maths (agrandissement de figures, œuvres, dessins ... pas seulement pour l'interdisciplinarité, mais parce que c'est la possibilité de manipuler utile) cela me semble porteur justement par rapport à "la multiplication d'un nombre par une grandeur identique ", c'est sûrement un peu simpliste, mais cela me paraissait abordable pour des élèves.
La situation c'est bien d'agrandir en respectant les "proportions", et là les valeurs numériques permettent de le confirmer; situation / outil. On n'est pas complètement à côté de la plaque avec cette approche en élémentaire, si ? et théoriquement on devrait pouvoir éviter le raccourci tableau = proportionnalité ?

Pourquoi les longueurs sont-elles proportionnelles et pas les angles ni les surfaces ? L'agrandissement n'est pas un problème simple, il me semble délicat de s'en servir pour donner du sens à la proportionnalité. le risque étant que les enfants généralisent un peu trop vite et concluent que, dans un agrandissement, toutes les mesures (angles, longueurs et surfaces au moins) sont proportionnelles, ce qui est très loin d'être le cas.

@Ycombe
Concernant ces fameux tableaux, pour moi ils ne viennent certainement pas en préalable mais bien en outil une fois la situation abordée, et comprise, comme tu le suggères, après avoir explicité le raisonnement. Tout à fait d'accord sur l'abstraction trop rapide

Pour l'agrandissement, je crois que je n'aurais même pas pensé à la proportionnalité pour les angles, les surfaces pas sûre que les élèves de CM2 le déduisent d'office ...

Merci pour ces retours.

@ycombe pour passer de 6 personnes à 9 c'est quand même un peu dommage de repasser par l'unité, non ?

Oui, certes. C'est même une erreur de le faire par un retour à l'unité.

J'ai juste repris l'exemple (et le tableau) ici (cette page contient beaucoup d'éléments très discutables pour moi):
http://www.apmep.fr/Le-retour-de-la-Regle-de-trois

Malaca a écrit:
Pour l'agrandissement, je crois que je n'aurais même pas pensé à la proportionnalité pour les angles, les surfaces pas sûre que les élèves de CM2 le déduisent d'office ...

Le piège est tombé au brevet, si mes souvenirs sont exacts. Dans les QCM.