Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Soit le problème suivant :

Un herboriste se sert d'une balance pour peser les différents sachets d'infusion qu'il vend à ses clients. Ses sachets pèsent entre 1 et 40 grammes. Il dispose pour les peser d'une balance à plateaux et de quatre poids. Il place toujours les sachets d'herbes sur un plateau de la balance, et les poids sur l'autre plateau. Quels sont les quatre poids qu'il lui faut posséder pour pouvoir peser toutes les combinaisons de masses, de 1 à 40 grammes ?

La réponse est : 1, 3, 9 et 27 grammes, qui permettent effectivement par l'addition et la soustraction d'obtenir tous les nombres de 1 à 40.

Ma question à moi est la suivante : est-il possible de répondre à cette question par un raisonnement, et non à tâtons et de manière empirique ?

Soit l'autre problème suivant :

Un employé a obtenu une prime de 200 euros. Il achète x objets coûtant x euros, y objets coûtant y euros, et z objets coûtant z euros.

Ce qui équivaut à : x²+y²+z² = 200.

La solution est : x = 6 ; y = 8 ; z = 10. Là encore, y-t-il un moyen de résoudre le problème par un raisonnement mathématique, et non en essayant successivement les diverses combinaisons avec des chiffres au hasard ?

Eh, les scientifiques, m'oubliez pas, hein

John a écrit:Soit le problème suivant :

Un herboriste se sert d'une balance pour peser les différents sachets d'infusion qu'il vend à ses clients. Ses sachets pèsent entre 1 et 40 grammes. Il dispose pour les peser d'une balance à plateaux et de quatre poids. Il place toujours les sachets d'herbes sur un plateau de la balance, et les poids sur l'autre plateau. Quels sont les quatre poids qu'il lui faut posséder pour pouvoir peser toutes les combinaisons de masses, de 1 à 40 grammes ?

La réponse est : 1, 3, 9 et 27 grammes, qui permettent effectivement par l'addition et la soustraction d'obtenir tous les nombres de 1 à 40.

Ma question à moi est la suivante : est-il possible de répondre à cette question par un raisonnement, et non à tâtons et de manière empirique ?

Je m'étais posé ce type de question en essayant de chercher les scores qui n'étaient pas possible au rugby (2, 3 et 5 points) et je ne pense pas qu'il y ait de théorie (simple ou sans programme informatique) quand il y a trop de paramètres (4 poids inconnus)...

Soit l'autre problème suivant :

Un employé a obtenu une prime de 200 euros. Il achète x objets coûtant x euros, y objets coûtant y euros, et z objets coûtant z euros.

Ce qui équivaut à : x²+y²+z² = 200.

La solution est : x = 6 ; y = 8 ; z = 10. Là encore, y-t-il un moyen de résoudre le problème par un raisonnement mathématique, et non en essayant successivement les diverses combinaisons avec des chiffres au hasard ?

En maîtrise, je m'étais fait une disquette de petits programmes utiles (que je n'ai jamais utilisés ) de théorie des nombres et ce que tu demandes doit exister. Mais je ne sais pas à partir de quoi...
Demande à Finrod, peut-être qu'il a fait de la recherche en théorie des nombres.

John a écrit:

Ce qui équivaut à : x²+y²+z² = 200.

Avec 200, ça reste relativement facile : x, y, et z < 15 et par exemple si x dépasse 10, y et z soit nécessairement très petit...
Donc c'est vite fait.

Il faut se dire que pour le concepteur, qui part dans l'autre sens, c'est beaucoup plus facile (!!), ici si tu recherches comme les Bogdanov la main de dieu dans cet ex. :lol:

Avec, ça reste relativement facile : x, y, et z < 15 et par exemple si x dépasse 10, y et z soit nécessairement très petit...
Donc c'est vite fait.

Il faudrait rajouter dans le problème, x<15 ; y<15 et z<15 et x "supérieur ou égal" à 10 ?

Oh my god...

John a écrit:Soit le problème suivant :

Un herboriste se sert d'une balance pour peser les différents sachets d'infusion qu'il vend à ses clients. Ses sachets pèsent entre 1 et 40 grammes. Il dispose pour les peser d'une balance à plateaux et de quatre poids. Il place toujours les sachets d'herbes sur un plateau de la balance, et les poids sur l'autre plateau. Quels sont les quatre poids qu'il lui faut posséder pour pouvoir peser toutes les combinaisons de masses, de 1 à 40 grammes ?

La réponse est : 1, 3, 9 et 27 grammes, qui permettent effectivement par l'addition et la soustraction d'obtenir tous les nombres de 1 à 40.

Ma question à moi est la suivante : est-il possible de répondre à cette question par un raisonnement, et non à tâtons et de manière empirique ?

1. Il y a un problème dans l'énoncé car tu dis : "Il place toujours les sachets d'herbes sur un plateau de la balance, et les poids sur l'autre plateau". Si tel était vraiment le cas, tu ne pourrais pas faire de soustraction, tu n'aurais que deux cas possibles : soit le poids est sur le plateau qui lui est dédié (cas 1), soit il n'y est pas (cas 0). Alors avec 4 poids tu peux faire 2^4 (c'est-à-dire 2 puissance 4) combinaisons, c'est-à-dire 16 combinaisons. Les poids seraient : 1=2^0, 2=2^1, 4=2^2 g et 8=2^3 g, et tu mesurerais des masses allant de 0 à 17 g. En somme tu as deux signes (1 et 0) pour coder un nombre, en utilisant tes masses tu comptes en base binaire.

2. Supposons que tu puisses mettre les poids sur l'une ou l'autre des balances. Tu as maintenant trois cas : le poids est sur le plateau où est le sachet (cas -1), le poids n'est sur aucun plateau (cas 0), le poids est sur le plateau autre que celui du sachet (cas 1). Tu as 3^4 combinaisons, c'est-à-dire 81 combinaisons possibles. Mais comme ces combinaisons sont faites aussi avec "-1" cela signifie que tu peux compter de -40 à 40 (ne pas oublier le 0 au milieu !). Entendu que tu utilises 3 signes, tu utilises donc une base trinaire, appelée trinaire balancée car tu utilises les signes -1, 0 et 1, et les poids sont 1=3^0, 3=3^1, 9=3^2 et 27=3^3.

Ai-je répondu à ta question ?

Autrement dit on travaille en base 3

Bon sang mais c'est bien sûr ! Merci Jon

JphMM, tu as raison : il faut dire qu'il peut placer ses poids sur les deux plateaux, tandis que les herbes doivent rester sur le plateau de gauche.

Pour les objets achetés par l'employé, on sait que tous les nombres sont inférieurs à 15 puisque 15² > 200, mais comment sait-on qu'il y en a un qui est supérieur à 10 ?

C'est une autre langue. Je pige rien...

+ 1

John a écrit:Soit l'autre problème suivant :

Un employé a obtenu une prime de 200 euros. Il achète x objets coûtant x euros, y objets coûtant y euros, et z objets coûtant z euros.

Ce qui équivaut à : x²+y²+z² = 200.

La solution est : x = 6 ; y = 8 ; z = 10. Là encore, y-t-il un moyen de résoudre le problème par un raisonnement mathématique, et non en essayant successivement les diverses combinaisons avec des chiffres au hasard ?

Attention, il existe une autre solution (sans parler des solutions par permutation des symboles) : x=10, y=10, z=0
En fait une telle équation s'appelle équation diophantienne (une équation où les solutions sont des entiers).

La solution que tu as donnée est celle issue du triplet pythagoricien bien connu : 3²+4²=5² (Te souviens-tu du théorème 3,4, 5 ? "un triangle dont les côtés sont de mesures respectives 3, 4 et 5 est rectangle" (remarque que l'unité de mesure n'a aucune importance)", qui nous vient des Egyptiens de l'Antiquité, qui utilisaient une corde à 13 noeuds pour faire des angles droits). Donc 3²+4²+5²=50. D'où 6²+8²+10²=50*2²=200. Peut-être as-tu pensé au triangle rectangle pour résoudre cette équation, ce qui pourrait expliquer l'oubli de l'autre solution (bien plus facile)

De façon plus générale : tout nombre entier peut s'écrire comme somme de quatre carrés parfaits (démontré par Lagrange).
Et ce qui nous intéresse ici : tout nombre qui n'est pas de la forme (4^n)*(8m+7) avec n et m entiers peut s'écrire comme somme de trois carrés parfaits (démontré par Gauss me semble-t-il).

Ainsi 4^1*(8*5+7)=188 ne peut pas s'écrire comme somme de trois carrés !

Résolvons notre problème.
x²+y²+z²=200
Nous savons que l'une au moins des inconnues est <9 (sinon x², y² et z² sont toutes supérieures ou égales à 81, donc leur somme à 243, ce qui est impossible). Supposons donc que x<9. Nous avons 9 cas y²+z²=200-x² à traiter, quand x va de 0 à 8 (dans les entiers) : y²+z²=200, y²+z²=199, y²+z²=196, y²+z²=191, y²+z²=184, etc...

Bien sûr on pourrait utiliser un théorème de Fermat "Un nombre est la somme de deux carrés parfaits si chacun de ses facteurs multiplicatifs premiers pouvant s'écrire 4k+3 est élevé à une puissance paire", mais là on irait trop loin sans doute pour un mathématicien néophyte.

JPhMM a écrit:
Attention, il existe une autre solution (sans parler des solutions par permutation des symboles) : x=10, y=10, z=0

J'imagine qu'à partir du moment où l'on parle d'achat d'objets, x, y et z sont non nuls

Salut,

Pour le premier je ne vois pas : hormis remarquer qu'avec les poids 1, 3 et 9 on va jusqu'à peser des sachets de 13 kg puis on remarque que 13 + 27 = 40 mais on est obligé de justifier la suite et en examinant les cas.

Pour le second, si on prend la valeur entière de racine(200) on trouve 14 ou méthode citée plus haut (un au moins est plus petit que 9):

Ensuite il n'y a pas de recette miracle : on dresse un tableau de 1 à 14 pour x, y et z et on fait les calculs.

Je ne vois pas d'autre moyen...

A+

Celeborn a écrit:

JPhMM a écrit:
Attention, il existe une autre solution (sans parler des solutions par permutation des symboles) : x=10, y=10, z=0

J'imagine qu'à partir du moment où l'on parle d'achat d'objets, x, y et z sont non nuls

Certes, mais si c'est un problème mathématique, on peut dire j'achète 0 objet. C'est une proposition acceptable. Il faudrait donc rajouter au début, pour éviter toute confusion que chacun des x, y et z n'est nul.

Supposons donc que x<9. Nous avons 9 cas y²+z²=200-x² à traiter, quand x va de 0 à 8 (dans les entiers) : y²+z²=200, y²+z²=199, y²+z²=196, y²+z²=191, y²+z²=184, etc...

Mais ensuite...? Je ne sais pas comment résoudre x²+z²=184, par exemple.

JPhMM a écrit:
Certes, mais si c'est un problème mathématique, on peut dire j'achète 0 objet. C'est une proposition acceptable.

Je voulais dire qu'on ne peut pas acheter pour zéro euro

John a écrit:

Supposons donc que x<9. Nous avons 9 cas y²+z²=200-x² à traiter, quand x va de 0 à 8 (dans les entiers) : y²+z²=200, y²+z²=199, y²+z²=196, y²+z²=191, y²+z²=184, etc...

Mais ensuite...? Je ne sais pas comment résoudre x²+z²=184, par exemple.

D'accord.
Tu es d'accord que la méthode sera la même dans les 9 cas. Il faut trouver pour y²+z² les valeurs : 200, 199, 196, 191, 184, 175, 164, 151, 136 (petit truc marrant : pour les calculer il suffit de faire 200, le résultat précédent -1, le résultat précédent -3, le résultat précédent -5, etc. )

Je fais un tableau avec mon tableur préféré. En colonne, je mets y va de 0 à 14 et z va de 0 à 14. La cellule calcule y²+z². A chaque fois que l'une des 9 valeurs précédentes apparait, c'est que tu as une solution.

Je sais c'est long.

Une autre méthode utilise la géométrie de façon surprenante (il faut une grande feuille à carreau, mais c'est faisable avec un logiciel de géométrie), mais c'est tellement plus simple et plus joli : on trace le repère cartésien pour y en abscisse va de 0 à 15 (échelle 1 carreau = 1 unité) et z en ordonnée va de 0 à 15. Et on trace dans ce quart de plan les quarts de cercles de centre l'origine et de rayons respectifs R=racine de 200, racine de 199, racine de 196, etc... A chaque fois qu'un quart de cercle passe exactement par une ligne horizontale et une ligne verticale du quadrillage, tu as une solution. En effet, dans ces cas-là, y et z sont entiers, d'autre part R²=y²+z² par le théorème de Pythagore.

Une méthode moins systématique demanderait des outils plus puissants en arithmétique (modulaire).

Si tu veux faire quelques petits problèmes mathématiques sympathiques, il existe un fameux concours de mathématiques, pour tous niveaux : Kangourou

http://www.mathkang.org/

Fascinant ! ça devient marrant les maths avec tes explications ! On va te demander des leçons !

A propos de géométrie, x²+y²+z²=200 est l'équation de la sphère de rayon R=racine de 200, et de centre l'origine. Donc les solutions entières de cette équation sont les points de coordonnées entières (les lignes du quadrillage) de la sphère, en géométrie dans l'espace. Avec certains logiciels de géométrie 3d tu peux avoir l'ensemble des solutions directement en traçant la sphère et le quadrillage (mais il faut sans doute avoir une bonne vue ). Tu vois que parfois il est plus facile de dessiner les solutions (surtout à l'aide d'une ordinateur) que de les calculer.

John a écrit:

Avec, ça reste relativement facile : x, y, et z < 15 et par exemple si x dépasse 10, y et z soit nécessairement très petit...
Donc c'est vite fait.

Il faudrait rajouter dans le problème, x<15 ; y<15 et z<15 et x "supérieur ou égal" à 10 ?

Tout a été très bien détaillé.

Mais pour revenir à ta question, de façon intuitive je voulais dire que si x > 10, il ne restait pas grand chose pour y et z (pour compléter 200, donc peu de cas à faire).
Et JPhMM a ensuite démontré ce que je disais "vite fait" : on peut supposer que au moins x < 9.

JPhMM a écrit:
x²+y²+z²=200
Nous savons que l'une au moins des inconnues est <9 (sinon x², y² et z² sont toutes supérieures ou égales à 81, donc leur somme à 243, ce qui est impossible). Supposons donc que x<9. Nous avons 9 cas y²+z²=200-x² à traiter, quand x va de 0 à 8 (dans les entiers) : y²+z²=200, y²+z²=199, y²+z²=196, y²+z²=191, y²+z²=184, etc...

Tu t'intéresses aux problèmes d'arithmétique ?
Car tu as de bons réflexes...

Préparant l'agrégation, je suis bien obligé de m'y intéresser, mais je dois avouer que j'apprécie ça.

En plus je viens juste de sortir de la rédaction d'une proposition de solution d'un problème d'arithmétique posé par l'APMEP. Ca aide...

Le problème en question : "Pour n entier naturel non nul, on note sigma (n) la somme des diviseurs (parmi les entiers naturels non nuls) de n. Si n est divisible par 24, en est-il de même de sigma(n-1) ?" (source : Bulletin 489 de l'APMEP).

J'adore

JPhMM a écrit:Le problème en question : "Pour n entier naturel non nul, on note sigma (n) la somme des diviseurs (parmi les entiers naturels non nuls) de n. Si n est divisible par 24, en est-il de même de sigma(n-1) ?" (source : Bulletin 489 de l'APMEP).

J'adore

Moi aussi ... avant.
Mais à force de travailler sur les niveaux collège-lycée (et TS pas spé maths), je ne suis plus dedans du tout.
J'avais fait un module théorie des nombres en maîtrise.