Calcul littéral au collège

Bonjour à tous,

Je me rends compte chaque année avec mes élèves de troisième que le calcul littéral leur pose beaucoup de problème, l'abstraction avec les lettres, la compréhension de la réduction d'une expression. Certes, lorsque les élèves ont compris et son à l'aise avec les automatismes il n'y a plus guère que des erreurs de calculs ou d'inattention.
Mais je crois aussi beaucoup d'élèves ne comprennent pas du tout et bloquent de ce fait, sans doute parce que le calcul littéral et l'arrivée d'une lettre dans les calculs est arrivée trop abruptement, ou alors les explications n'ont pas été suffisante (ou bien sûr, mais ce n'est pas de ces élèves dont je parle, ils n'écoutaient rien du tout à ce moment là).

La semaine dernière, en 6è, les élèves ont fini une activité plus rapidement que je n'imaginais et j'ai donc "improvisé" un peu de calcul littéral, pour leur montrer que lorsqu'une longueur était inconnue, on pouvait non pas lui donner une valeur numérique, mais littéral, en introduisant une lettre. J'ai utilisé pour cela des lignes brisées, avec des segments de longueur a, d'autres 3, d'autres lignes brisées avec plusieurs lettres et différentes valeurs numériques. Et je leur demandais de me donner la longueur de la ligne brisée. Est-ce parce que cette année j'ai vraiment une bonne classe ou est-ce parce qu'à cet âge, on est encore ouvert à plein de choses, ou est-ce parce que cette introduction un peu plus géométrique que d'habitude (c'est la première fois que j'introduis le calcul littéral de cette façon, j'ai vraiment improvisé sur le moment) est plus accessible pour des collégiens.

Toujours est-il qu'après cette séance j'ai fait des recherches sur la façon d'introduire le calcul littéral et j'ai trouvé ça :
https://irem-rennes.univ-rennes1.fr/ressources/docs_themes/difficultes/.../chap_4.pdf

Bon premier constat, je n'ai donc rien inventé. Ouf !
Mes questions sont donc multiples :
- Avez-vous déjà introduit le calcul littéral de cette façon ?
- Comment introduisez-vous le calcul littéral au collège ?
- Si vous utilisez cette façon de faire, comment expliquez-vous les suppressions de parenthèses ?
- Commencez-vous en 6è ? en 5è ?

Au plaisir de vous lire

Bonjour !

Ton lien est cassé

Pour ma part, j'introduit le calcul littéral en sixième de différentes façons :
# Opérations sur les nombres entiers (puis relatifs) :
Déterminer la valeur par laquelle on doit remplacer A pour que l'égalité soit vraie : 5 + A = 12
etc. développé ensuite en calcul mental : "combien faut-il ajouter à 5,2 pour obtenir 22,1 ?".
# Fractions : lié à la notion de partage d'un segment en utilisant les carreaux :
[AB], un segment de 7 carreaux, C un point de [AB] tel que AC = 3 carreaux. Je demande de compléter l'égalité : AC = ... x AB
Cela ne passe pas très bien.
# Résolutions de problèmes en nommant par une lettre la quantité cherchée.
# Calculs algébriques : je donne une expression littérale et différents jeux de valeurs pour chaque lettre. Je demande de remplacer et calculer la valeur de l'expression dans chaque cas. Je reprends ce genre d'exercice à chaque niveau en fonction des nouveautés rencontrées (écritures fractionnaires, nombres relatifs etc.).

En cinquième, il y a le résolution d'équation, ou tout du moins, tester si un équation est vraie. Là, je reprends ce qui est proposé sur le site Mathenligne : http://mathsenligne.net/telechargement/5eme/5n5/5n5_ex5.pdf

Loïc.

Peut-être qu'au primaire la lettre n'est pas une inconnue puisqu'ils la rencontrent dans les formules d'aires et périmètres.......

Quant à moi , je leur demande de dire de manière concise 2+3*5,2+3*6;2+3*8,2+3*9,juqu'à 2+3*20 et la lettre vient naturellement(inspiré du manuel triangle)

Pardon, voici le document en question

ZDj a écrit:
Mes questions sont donc multiples :
- Avez-vous déjà introduit le calcul littéral de cette façon ?
- Comment introduisez-vous le calcul littéral au collège ?
- Si vous utilisez cette façon de faire, comment expliquez-vous les suppressions de parenthèses ?
- Commencez-vous en 6è ? en 5è ?

Au plaisir de vous lire

1) Oui, j'utilise régulièrement çà en 5e : longueur de ligne brisée, calcul de périmètre, prog de calcul simple

2) A l'aide d'une activité où il faut généraliser un principe calculatoire obtenu à partir d'une situation géométrique et j'aime bien entretenir çà en faisant des suites de motifs (patterns en anglais)

3) Qu'appelles-tu "suppression de parenthèses ?" Transformer des expressions comme ceci 3x(5a + 7) ? Pour çà j'utilise l'addition réitérée.

4) En 5e.

Le calcul littéral, c'est pas fin de 5° et 4° ?

Oui, logiquement c'est en "fin" de 5è que l'on commence.
En fait, ma question est surtout : est-ce qu'une approche plus géométrique comme celle que j'ai décrit peut faciliter l'assimilation des différentes techniques comme la réduction d'expressions littérales.
En fait, je vois beaucoup d'élèves en 3è pour lesquels réduire 4a - 5b + 7a² - 2 - 3a - 6a² + 13 par exemple n'est pas simple. Ils ne voient pas vraiment pourquoi on calcule "les a avec les a", "les a² avec les a²" etc.
Il m'a semblé que lorsque j'ai demandé des longueurs de lignes brisées, les élèves y arrivaient plutôt bien. Mais est-ce parce qu'ils sont en 5è ou parce que c'est plus simple pour eux.

Par exemple une ligne dont les longueurs de segments sont : a ; 2 ; b ; 3a ; 7 ; b.
Seuls les élèves en très grandes difficultés n'ont pas réussi à écrire que L = 4a + 2b + 9

Je voulais donc savoir ce que vous en pensez, si vous avez déjà essayé .... ?

ZDj a écrit:
En fait, je vois beaucoup d'élèves en 3è pour lesquels réduire 4a - 5b + 7a² - 2 - 3a - 6a² + 13 par exemple n'est pas simple. Ils ne voient pas vraiment pourquoi on calcule "les a avec les a", "les a² avec les a²" etc.

C'est là où je trouve la consigne anglaise beaucoup mieux "collecting like terms" donc maintenant je parle de familles et à la rigueur tu peux revenir à une visualisation géométrique pour distinguer les familles (segment a, carré a²)

ZDj a écrit:
Il m'a semblé que lorsque j'ai demandé des longueurs de lignes brisées, les élèves y arrivaient plutôt bien. Mais est-ce parce qu'ils sont en 5è ou parce que c'est plus simple pour eux.

Par exemple une ligne dont les longueurs de segments sont : a ; 2 ; b ; 3a ; 7 ; b.
Seuls les élèves en très grandes difficultés n'ont pas réussi à écrire que L = 4a + 2b + 9

Je voulais donc savoir ce que vous en pensez, si vous avez déjà essayé .... ?

J'utilise des lignes brisées mais pas de lettres sur les lignes, juste des codages. A eux de mettre des lettres.
En ne mettant pas de lettres, tu peux voir ceux qui ont compris l'algébrisation ou non. Ceux qui ne l'ont pas compris mesurent le segment.

ZDj a écrit:Oui, logiquement c'est en "fin" de 5è que l'on commence.
En fait, ma question est surtout : est-ce qu'une approche plus géométrique comme celle que j'ai décrit peut faciliter l'assimilation des différentes techniques comme la réduction d'expressions littérales.
En fait, je vois beaucoup d'élèves en 3è pour lesquels réduire 4a - 5b + 7a² - 2 - 3a - 6a² + 13 par exemple n'est pas simple. Ils ne voient pas vraiment pourquoi on calcule "les a avec les a", "les a² avec les a²" etc.
Il m'a semblé que lorsque j'ai demandé des longueurs de lignes brisées, les élèves y arrivaient plutôt bien. Mais est-ce parce qu'ils sont en 5è ou parce que c'est plus simple pour eux.

Je voulais donc savoir ce que vous en pensez, si vous avez déjà essayé .... ?

En matière de calcul littéral, comme pour toute autre notion, j'imagine que des tas d'idées ont été essayées.
Hélas, l'expérience me laisse croire qu'une activité isolée est rarement efficace si elle ne s'insère pas dans un parcours d'apprentissage construit en amont.
Essayer de trouver l'activité "qui tue" pour faire comprendre la "réduction" (dont le nom est franchement mal choisi, comme le souligne le précédent message), c'est à peu près aussi pertinent que de proposer la progression de cycle 4 heure par heure : c'est croire qu'il suffit d'empiler des heures de cours pensées une par une pour qu'émerge ex nihilo une cohérence.

Quelques pistes de travail avant de parler de "réduction" (que j'appelle "réduction par familles" pour ma part) :
- travailler plusieurs fois avec des expressions littérales avant de travailler la distributivité (exercices de production d'expression à partir de situations concrètes ou géométriques, conjecture du fonctionnement d'une boîte noire) et en particulier travailler la commutativité de l'addition ou de la soustraction en littéral
- insister énormément toute l'année sur les priorités opératoires qui restent le fondement de toute la compréhension de la manipulation des expressions numériques ou littérales (pour éviter 8+4a = 12a)
- parler à l'occasion des calculs sur les grandeurs des question d'homogénéité dans les calculs (pour bien différencier les a² des a)
- introduire bien avant dans l'année l'évaluation d'une expression littérale pour des valeurs données des lettres (pour pouvoir régulièrement réfuter une égalité entre expressions littérales, proposée par erreur par un élève, ou comme piège par le prof)
- revenir de temps en temps (piqûre de rappel) à la notation non simplifiée du signe fois pour mieux exhiber la factorisation dont provient la réduction
- éviter de faire remarquer que 5 ananas plus 8 ananas font 13 ananas, ce qui n'a rien à voir avec le problème (je ne dis pas que de tels artifices ne conduisent pas à faire que certains "y arrivent" ... mais de là à ce qu'ils aient construit un savoir solide, j'ai des doutes...)

Aronome a écrit:

ZDj a écrit:Oui, logiquement c'est en "fin" de 5è que l'on commence.
En fait, ma question est surtout : est-ce qu'une approche plus géométrique comme celle que j'ai décrit peut faciliter l'assimilation des différentes techniques comme la réduction d'expressions littérales.
En fait, je vois beaucoup d'élèves en 3è pour lesquels réduire 4a - 5b + 7a² - 2 - 3a - 6a² + 13 par exemple n'est pas simple. Ils ne voient pas vraiment pourquoi on calcule "les a avec les a", "les a² avec les a²" etc.
Il m'a semblé que lorsque j'ai demandé des longueurs de lignes brisées, les élèves y arrivaient plutôt bien. Mais est-ce parce qu'ils sont en 5è ou parce que c'est plus simple pour eux.

Je voulais donc savoir ce que vous en pensez, si vous avez déjà essayé .... ?

En matière de calcul littéral, comme pour toute autre notion, j'imagine que des tas d'idées ont été essayées.
Hélas, l'expérience me laisse croire qu'une activité isolée est rarement efficace si elle ne s'insère pas dans un parcours d'apprentissage construit en amont.
Essayer de trouver l'activité "qui tue" pour faire comprendre la "réduction" (dont le nom est franchement mal choisi, comme le souligne le précédent message), c'est à peu près aussi pertinent que de proposer la progression de cycle 4 heure par heure : c'est croire qu'il suffit d'empiler des heures de cours pensées une par une pour qu'émerge ex nihilo une cohérence.

Quelques pistes de travail avant de parler de "réduction" (que j'appelle "réduction par familles" pour ma part) :
- travailler plusieurs fois avec des expressions littérales avant de travailler la distributivité (exercices de production d'expression à partir de situations concrètes ou géométriques, conjecture du fonctionnement d'une boîte noire) et en particulier travailler la commutativité de l'addition ou de la soustraction en littéral
- insister énormément toute l'année sur les priorités opératoires qui restent le fondement de toute la compréhension de la manipulation des expressions numériques ou littérales (pour éviter 8+4a = 12a)
- parler à l'occasion des calculs sur les grandeurs des question d'homogénéité dans les calculs (pour bien différencier les a² des a)
- introduire bien avant dans l'année l'évaluation d'une expression littérale pour des valeurs données des lettres (pour pouvoir régulièrement réfuter une égalité entre expressions littérales, proposée par erreur par un élève, ou comme piège par le prof)
- revenir de temps en temps (piqûre de rappel) à la notation non simplifiée du signe fois pour mieux exhiber la factorisation dont provient la réduction
- éviter de faire remarquer que 5 ananas plus 8 ananas font 13 ananas, ce qui n'a rien à voir avec le problème (je ne dis pas que de tels artifices ne conduisent pas à faire que certains "y arrivent" ... mais de là à ce qu'ils aient construit un savoir solide, j'ai des doutes...)

Il manque selon moi la piste principale : bien avoir mis en place la factorisation et ne jamais sauter d'étapes en particulier au tableau. Car si on peut réduire 2a+4a, c'est uniquement parce qu'il y a un facteur commun et donc qu'on peut favoriser par a avant deréduire. 2a+4a=a(2+4)=6a

favoriser la factorisation

Mince, tout le monde n'est pas d'accord.

La réduction avant la distributivité (et donc la factorisation) ou l'inverse ?
Personnellement, lorsque j'étais élève je ne suis jamais passé par la factorisation pour réduire une expression comme 2a + 4a. Et lorsque je l'ai amené comme ça aux élèves, je n'ai pas trouvé que ça soit vraiment limpide puisque la factorisation ça reste très gadget, dans le sens "application d'une formule" n'ayant pas un sens évident pour eux. C'est pour cela que la façon géométrique m'apparaissait plutôt bonne pour avoir une visualisation, une représentation. Après bien sûr ça ne doit pas être la seule façon d'amener le calcul littéral.

ZDj a écrit:
Personnellement, lorsque j'étais élève je ne suis jamais passé par la factorisation pour réduire une expression comme 2a + 4a.

Ce qui prouve qu'une bonne connaissance ne repose pas nécessairement sur un fondement mathématique construit rigoureusement. C'est vrai que quand je réduis, moi non plus, je n'ai pas la sensation de factoriser. Et pourtant, il me semble que de donner aux élèves les moyens d'une certaine forme de "retour aux sources" est une bonne chose pour leur formation intellectuelle (même si PISA s'en fiche).

dami1kd a écrit:
Il manque selon moi la piste principale : bien avoir mis en place la factorisation et ne jamais sauter d'étapes en particulier au tableau. Car si on peut réduire 2a+4a, c'est uniquement parce qu'il y a un facteur commun et donc qu'on peut favoriser par a avant deréduire. 2a+4a=a(2+4)=6a

Oui, je n'avais pas évoqué la factorisation du fait que ça me paraissait être une évidence.
Je pense même qu'il ne serait pas très sérieux d'enseigner la réduction sans y passer (quand bien même on s'appuierait sur telle ou telle activité "ligne brisée" ou autre pour faire appréhender le principe).

Concernant la compréhension de la réduction, ne pas négliger ses conséquences : si on enseigne "juste" aux élèves à réduire une expression sans contextualiser rapidement, il me semble qu'on a plus de risques que cette notion apparaisse comme orpheline et dénuée de sens.

Quelques exercices très simples comme "Prouver que si on ajoute le double d'un nombre entier et le triple du même nombre, le résultat obtenu se termine par 0 ou par 5." permettent d'une part de légitimer le calcul littéral comme instrument de preuve concise et donnent du sens à la réduction. D'ailleurs, l'utilisation de la réduction m’apparaît comme indissociable de la "preuve par l'algèbre" à ce niveau car je ne vois pas facilement d'exercices où la réduction s'imposerait autrement.

Comment se fait-il que malgré tous vos efforts, la calcul littéral pose encore tant de problèmes au lycée et que la plupart des élèves sont totalement incapables de mener un calcul littéral le jour du bac ?? Et je parle des S ?

leskhal a écrit:Comment se fait-il que malgré tous vos efforts, la calcul littéral pose encore tant de problèmes au lycée et que la plupart des élèves sont totalement incapables de mener un calcul littéral le jour du bac ?? Et je parle des S ?

Outre les facteurs sociétaux et la perte d'heures d'enseignements en mathématiques en vingt ou trente ans ?
Il est clair que de passer tant de temps à faire appréhender au plus grand nombre le calcul littéral se fait au dépens des exercices les plus techniques.

leskhal a écrit:Comment se fait-il que malgré tous vos efforts, la calcul littéral pose encore tant de problèmes au lycée et que la plupart des élèves sont totalement incapables de mener un calcul littéral le jour du bac ?? Et je parle des S ?

Nos élèves sont incapables de mener un calcul numérique à cause de l'usage prématuré de la calculatrice et de la disparition du calcul mental. Alors le calcul littéral ....

leskhal a écrit:Comment se fait-il que malgré tous vos efforts, la calcul littéral pose encore tant de problèmes au lycée et que la plupart des élèves sont totalement incapables de mener un calcul littéral le jour du bac ?? Et je parle des S ?

Aux explications proposées plus haut, j'ajouterai le passage systématique dans la classe supérieure avec pour conséquence que ne pas avoir acquis les mécanismes de calcul littéral n'est désormais plus du tout un obstacle, même pour aller en S.
Et concernant la part qui se joue avant le collège, en plus de l'usage prématuré de la calculatrice et du manque de temps à cause de la dispersion vers d'autres tâches, peut-être y a-t-il aussi un problème d'enseignement du calcul au primaire avec, comme pour la lecture, l'imposition de méthodes inefficaces et leur généralisation au fil des ans à force de propagande formation.

Moonchild a écrit:

leskhal a écrit:Comment se fait-il que malgré tous vos efforts, la calcul littéral pose encore tant de problèmes au lycée et que la plupart des élèves sont totalement incapables de mener un calcul littéral le jour du bac ?? Et je parle des S ?

Aux explications proposées plus haut, j'ajouterai le passage systématique dans la classe supérieure avec pour conséquence que ne pas avoir acquis les mécanismes de calcul littéral n'est désormais plus du tout un obstacle, même pour aller en S.
Et concernant la part qui se joue avant le collège, en plus de l'usage prématuré de la calculatrice et du manque de temps à cause de la dispersion vers d'autres tâches, peut-être y a-t-il aussi un problème d'enseignement du calcul au primaire avec, comme pour la lecture, l'imposition de méthodes inefficaces et leur généralisation au fil des ans à force de propagande formation.

Je pense que le manque de pratique du calcul mental explique la plupart des lacunes. Parce qu'en calcul mental, on utilise implicitement de la distributivité, sans cesse 27*9 c'est 10*27 - 1*27 ; 21*46 c'est 20*46 + 1*46 ; etc) : on met donc en place cette logique-là dans le cerveau dès le primaire (c'était le cas quand j'étais jeune en tout cas). Quand on formalise ensuite avec des lettres, on introduit un certain niveau d'abstraction, mais la logique de la chose est déjà acquise. Alors qu'aujourd'hui, ils n'ont pas suffisamment acquis cette logique de calcul, et doivent passer à l'abstraction sans l'avoir compris au niveau "concret". Ce qui paume un certain nombre d'élèves...

Et puis, il y a 15-20 ans, on orientait en fin de 5ème ceux qui étaient les plus en difficulté scolairement (donc manquaient de capacités d'abstraction, c'est souvent lié). Ce n'est plus le cas, ils doivent rester au collège et assimiler des notions qu'ils ne sont pas capables d'assimiler (certains ne sont pas capable d'atteindre ce niveau d'abstraction, cpas encore, ils le seront certainement un jour mais pas à 13 ans...).
Résultat : on enlève de plus en plus toute exigence d'abstraction pour en rester à ce que tout le monde est capable de faire... au détriment des futurs scientifiques.

Pour 2a +4a, la factorisation est elle nécessaire ? dénombrer ne suffit pas a+a+a+a+a+a+a?
Et réserver la factorisation pour 0,5a+3,2a ?

N.B. dans les nouveaux programmes , les repères de progressivité feraient passer la distributivité en 4è avec la double mais que reste-t-il alors en 5è ,
Quelqu'un pour confirmer?

Pour cela, il faut savoir que 2a, donc 2*a, c'est a+a, on en revient au sens de la multiplication de primaire, mais j'imagine que ça pourrait se faire... Mais on sera vite bloqués sans factorisation ; puis franchement, la distributivité, via des exemples numériques et non pas littéraux au départ, ça se comprend plutôt bien (éventuellement en partant de problèmes qu'on résoud de 2 façons différentes) !

Et il me semble que tu as raison pour la distributivité. Comme ça n'était pas acquis, pour beaucoup, en 5ème, ben ils passent ça en 4ème.... comme toute notion posant quelques difficultés, on recule !

En effet c'est l'argument massue(rebattu en formation et légèrement culpabilisant)pour justtifier beaucoup de reculades du programme
Pour la réduction, je procède ainsi d'abord avec les entiers en revenant au sens de la multiplication puis deuxième étape en factorisant et dans un troisième temps comme ils peuvent en exercice.

pistor a écrit:1. Pour 2a +4a, la factorisation est elle nécessaire ? dénombrer ne suffit pas a+a+a+a+a+a+a?
Et réserver la factorisation pour 0,5a+3,2a ?

2. N.B. dans les nouveaux programmes , les repères de progressivité feraient passer la distributivité en 4è avec la double mais que reste-t-il alors en 5è ,
Quelqu'un pour confirmer?

1. 2 canards + 4 canards = 6 canards donc 2a + 4a = 6a
    0,5 euros + 3,2 euros = 3,7 euros donc 0,5a + 3,2a = 3,7a
De toute manière, la factorisation est implicite :
- on laisse un instant en suspens les canards, pour en compter d'abord 2+4
- on laisse un instant en suspens les euros, pour en compter d'abord 0,5 + 3,2
- donc on laisse un instant en suspens les a, pour en compter d'abord 0,5 + 3,2
On explicite à l'écrit ensuite : 0,5a + 3,7a = (0,5 + 3,7)a

2. En 5ème : - Produire une expression littérale (l'élève choisit la lettre et écrit l'expression)
                       - Utiliser une expression littérale (On remplace la lettre par une valeur numérique)
                       - Tester une égalité littérale

Il n'est pas interdit (les repères de progressivité sont des repères) en 5ème d'initier à la simple distributivité et à la réduction. Si l'on a le temps, pourquoi hésiter ?

mais pourquoi ne pas dénombrer les canards?

ok pour commencer la distributivité en 5è même si la 5è me semble bien chargée entre opérations des fractions,addition,soustraction des relatifs,symétries,.......

ZDj a écrit:Je me rends compte chaque année avec mes élèves de troisième que le calcul littéral leur pose beaucoup de problème, l'abstraction avec les lettres, la compréhension de la réduction d'une expression. Certes, lorsque les élèves ont compris et son à l'aise avec les automatismes il n'y a plus guère que des erreurs de calculs ou d'inattention.
Mais je crois aussi beaucoup d'élèves ne comprennent pas du tout et bloquent de ce fait, sans doute parce que le calcul littéral et l'arrivée d'une lettre dans les calculs est arrivée trop abruptement, ou alors les explications n'ont pas été suffisante (ou bien sûr, mais ce n'est pas de ces élèves dont je parle, ils n'écoutaient rien du tout à ce moment là).

Ajout d'une hypothèse : en discutant avec une psy, nous sommes arrivées à parler de neurosciences, et maintenant "on sait que" pendant l'adolescence, les connexions neuronales se remodèlent sous l'effet des hormones (processus similaire de remodelage des connexions pendant une grossesse parait-il d'ailleurs) et pendant cette fameuse année de 4ème, où les démonstrations sont mises en place et le calcul littéral plus travaillé, c'est là où la majorité des élèves ont les hormones en ébullition, et en fait le cerveau incapable ponctuellement de vraiment percevoir toute l'ampleur de ces notions.
Pour donner une image : tu ne demandes pas à quelqu'un qui est en train de refaire sa cuisine de préparer un gueuleton pour 15 personnes et c'est pourtant ce que font les programmes

neomath a écrit:

leskhal a écrit:Comment se fait-il que malgré tous vos efforts, la calcul littéral pose encore tant de problèmes au lycée et que la plupart des élèves sont totalement incapables de mener un calcul littéral le jour du bac ?? Et je parle des S ?

Nos élèves sont incapables de mener un calcul numérique à cause de l'usage prématuré de la calculatrice et de la disparition du calcul mental. Alors le calcul littéral ....

je pense aussi qu'il y a de ça ... Il y a les élèves qui se bloquent, pensent qu'ils n'y arriveront jamais, et n'essayent plus ... et le temps passé à acquérir les automatismes s'est en plus réduit ...